Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15145 / 20860
↖ ↑ ↗
← S 44.056012°
W 13.612060°		 ← 877.90 m → S 44.056012°
W 13.601074°		 →
↑
877.86 m
↓
↑
877.86 m
↓
S 44.063907°
W 13.612060°		 ← 877.78 m →
770 620 m²		 S 44.063907°
W 13.601074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462203979492188 y=0.636611938476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462203979492188 × 215)
    floor (0.462203979492188 × 32768)
    floor (15145.5)     		tx = 15145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636611938476562 × 215)
    floor (0.636611938476562 × 32768)
    floor (20860.5)     		ty = 20860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15145 / 20860 ti = "15/15145/20860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15145/20860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15145 ÷ 215
    15145 ÷ 32768     		x = 0.462188720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20860 ÷ 215
    20860 ÷ 32768     		y = 0.6365966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462188720703125 × 2 - 1) × π
    -0.07562255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23757527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6365966796875 × 2 - 1) × π
    -0.273193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.858262250797485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23757527} λ = -0.23757527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.858262250797485))-π/2
    2×atan(0.423898071185655)-π/2
    2×0.400936933711971-π/2
    0.801873867423943-1.57079632675     		φ = -0.76892246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23757527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.612060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76892246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.056012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15145 KachelY 20860 -0.23757527 -0.76892246 -13.612060 -44.056012
    Oben rechts KachelX + 1 15146 KachelY 20860 -0.23738353 -0.76892246 -13.601074 -44.056012
    Unten links KachelX 15145 KachelY + 1 20861 -0.23757527 -0.76906025 -13.612060 -44.063907
    Unten rechts KachelX + 1 15146 KachelY + 1 20861 -0.23738353 -0.76906025 -13.601074 -44.063907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76892246--0.76906025) × R
    0.000137790000000027 × 6371000     		dl = 877.860090000169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76892246--0.76906025) × R
    0.000137790000000027 × 6371000     		dr = 877.860090000169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23757527--0.23738353) × cos(-0.76892246) × R
    0.000191739999999996 × 0.718660366250526 × 6371000     		do = 877.897924979065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23757527--0.23738353) × cos(-0.76906025) × R
    0.000191739999999996 × 0.71856454560093 × 6371000     		du = 877.780872817291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76892246)-sin(-0.76906025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718660366250526-0.71856454560093)×R²
    abs(-0.23738353--0.23757527)×9.58206495961234e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58206495961234e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58206495961234e-05×40589641000000     		ar = 770620.174941937m²