Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15145 / 14025
↖ ↑ ↗
← N 25.075649°
W 13.612060°		 ← 1 106.44 m → N 25.075649°
W 13.601074°		 →
↑
1 106.52 m
↓
↑
1 106.52 m
↓
N 25.065697°
W 13.612060°		 ← 1 106.53 m →
1 224 343 m²		 N 25.065697°
W 13.601074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462203979492188 y=0.428024291992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462203979492188 × 215)
    floor (0.462203979492188 × 32768)
    floor (15145.5)     		tx = 15145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428024291992188 × 215)
    floor (0.428024291992188 × 32768)
    floor (14025.5)     		ty = 14025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15145 / 14025 ti = "15/15145/14025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15145/14025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15145 ÷ 215
    15145 ÷ 32768     		x = 0.462188720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14025 ÷ 215
    14025 ÷ 32768     		y = 0.428009033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462188720703125 × 2 - 1) × π
    -0.07562255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23757527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428009033203125 × 2 - 1) × π
    0.14398193359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.45233258481485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23757527} λ = -0.23757527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.45233258481485))-π/2
    2×atan(1.57197467655389)-π/2
    2×1.00422447711602-π/2
    2.00844895423204-1.57079632675     		φ = 0.43765263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23757527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.612060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43765263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.075649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15145 KachelY 14025 -0.23757527 0.43765263 -13.612060 25.075649
    Oben rechts KachelX + 1 15146 KachelY 14025 -0.23738353 0.43765263 -13.601074 25.075649
    Unten links KachelX 15145 KachelY + 1 14026 -0.23757527 0.43747895 -13.612060 25.065697
    Unten rechts KachelX + 1 15146 KachelY + 1 14026 -0.23738353 0.43747895 -13.601074 25.065697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43765263-0.43747895) × R
    0.000173680000000009 × 6371000     		dl = 1106.51528000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43765263-0.43747895) × R
    0.000173680000000009 × 6371000     		dr = 1106.51528000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23757527--0.23738353) × cos(0.43765263) × R
    0.000191739999999996 × 0.90574900716817 × 6371000     		do = 1106.4408325359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23757527--0.23738353) × cos(0.43747895) × R
    0.000191739999999996 × 0.905822601610466 × 6371000     		du = 1106.53073370649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43765263)-sin(0.43747895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90574900716817-0.905822601610466)×R²
    abs(-0.23738353--0.23757527)×7.35944422954882e-05×R²
    0.000191739999999996×7.35944422954882e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.35944422954882e-05×40589641000000     		ar = 1224343.42920414m²