Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15144 / 8583
↖ ↑ ↗
← N 64.741330°
W 13.623047°		 ← 521.28 m → N 64.741330°
W 13.612060°		 →
↑
521.34 m
↓
↑
521.34 m
↓
N 64.736641°
W 13.623047°		 ← 521.37 m →
271 787 m²		 N 64.736641°
W 13.612060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462173461914062 y=0.261947631835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462173461914062 × 215)
    floor (0.462173461914062 × 32768)
    floor (15144.5)     		tx = 15144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261947631835938 × 215)
    floor (0.261947631835938 × 32768)
    floor (8583.5)     		ty = 8583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15144 / 8583 ti = "15/15144/8583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15144/8583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15144 ÷ 215
    15144 ÷ 32768     		x = 0.462158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8583 ÷ 215
    8583 ÷ 32768     		y = 0.261932373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462158203125 × 2 - 1) × π
    -0.07568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23776702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261932373046875 × 2 - 1) × π
    0.47613525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.49582301574423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23776702} λ = -0.23776702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49582301574423))-π/2
    2×atan(4.46300816773083)-π/2
    2×1.35037284634068-π/2
    2.70074569268137-1.57079632675     		φ = 1.12994937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23776702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.623047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12994937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.741330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15144 KachelY 8583 -0.23776702 1.12994937 -13.623047 64.741330
    Oben rechts KachelX + 1 15145 KachelY 8583 -0.23757527 1.12994937 -13.612060 64.741330
    Unten links KachelX 15144 KachelY + 1 8584 -0.23776702 1.12986754 -13.623047 64.736641
    Unten rechts KachelX + 1 15145 KachelY + 1 8584 -0.23757527 1.12986754 -13.612060 64.736641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12994937-1.12986754) × R
    8.18300000000605e-05 × 6371000     		dl = 521.338930000385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12994937-1.12986754) × R
    8.18300000000605e-05 × 6371000     		dr = 521.338930000385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23776702--0.23757527) × cos(1.12994937) × R
    0.000191749999999991 × 0.426705597772437 × 6371000     		do = 521.280306433496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23776702--0.23757527) × cos(1.12986754) × R
    0.000191749999999991 × 0.4267796026254 × 6371000     		du = 521.370713666566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12994937)-sin(1.12986754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426705597772437-0.4267796026254)×R²
    abs(-0.23757527--0.23776702)×7.40048529632165e-05×R²
    0.000191749999999991×7.40048529632165e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.40048529632165e-05×40589641000000     		ar = 271787.28374326m²