Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15144 / 8392
↖ ↑ ↗
← N 65.622023°
W 13.623047°		 ← 504.24 m → N 65.622023°
W 13.612060°		 →
↑
504.33 m
↓
↑
504.33 m
↓
N 65.617487°
W 13.623047°		 ← 504.33 m →
254 323 m²		 N 65.617487°
W 13.612060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462173461914062 y=0.256118774414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462173461914062 × 215)
    floor (0.462173461914062 × 32768)
    floor (15144.5)     		tx = 15144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256118774414062 × 215)
    floor (0.256118774414062 × 32768)
    floor (8392.5)     		ty = 8392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15144 / 8392 ti = "15/15144/8392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15144/8392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15144 ÷ 215
    15144 ÷ 32768     		x = 0.462158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8392 ÷ 215
    8392 ÷ 32768     		y = 0.256103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462158203125 × 2 - 1) × π
    -0.07568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23776702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.256103515625 × 2 - 1) × π
    0.48779296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.53244680705396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23776702} λ = -0.23776702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53244680705396))-π/2
    2×atan(4.62949044540698)-π/2
    2×1.3580583416143-π/2
    2.7161166832286-1.57079632675     		φ = 1.14532036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23776702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.623047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14532036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.622023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15144 KachelY 8392 -0.23776702 1.14532036 -13.623047 65.622023
    Oben rechts KachelX + 1 15145 KachelY 8392 -0.23757527 1.14532036 -13.612060 65.622023
    Unten links KachelX 15144 KachelY + 1 8393 -0.23776702 1.14524120 -13.623047 65.617487
    Unten rechts KachelX + 1 15145 KachelY + 1 8393 -0.23757527 1.14524120 -13.612060 65.617487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14532036-1.14524120) × R
    7.9159999999856e-05 × 6371000     		dl = 504.328359999083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14532036-1.14524120) × R
    7.9159999999856e-05 × 6371000     		dr = 504.328359999083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23776702--0.23757527) × cos(1.14532036) × R
    0.000191749999999991 × 0.412754359208324 × 6371000     		do = 504.236925817463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23776702--0.23757527) × cos(1.14524120) × R
    0.000191749999999991 × 0.412826460197729 × 6371000     		du = 504.325007216084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14532036)-sin(1.14524120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412754359208324-0.412826460197729)×R²
    abs(-0.23757527--0.23776702)×7.21009894051328e-05×R²
    0.000191749999999991×7.21009894051328e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.21009894051328e-05×40589641000000     		ar = 254323.192954853m²