Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15144 / 8390
↖ ↑ ↗
← N 65.631090°
W 13.623047°		 ← 504.06 m → N 65.631090°
W 13.612060°		 →
↑
504.14 m
↓
↑
504.14 m
↓
N 65.626557°
W 13.623047°		 ← 504.15 m →
254 138 m²		 N 65.626557°
W 13.612060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462173461914062 y=0.256057739257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462173461914062 × 215)
    floor (0.462173461914062 × 32768)
    floor (15144.5)     		tx = 15144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256057739257812 × 215)
    floor (0.256057739257812 × 32768)
    floor (8390.5)     		ty = 8390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15144 / 8390 ti = "15/15144/8390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15144/8390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15144 ÷ 215
    15144 ÷ 32768     		x = 0.462158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8390 ÷ 215
    8390 ÷ 32768     		y = 0.25604248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462158203125 × 2 - 1) × π
    -0.07568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23776702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25604248046875 × 2 - 1) × π
    0.4879150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.53283030225092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23776702} λ = -0.23776702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53283030225092))-π/2
    2×atan(4.63126617322695)-π/2
    2×1.35813747245058-π/2
    2.71627494490117-1.57079632675     		φ = 1.14547862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23776702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.623047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14547862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.631090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15144 KachelY 8390 -0.23776702 1.14547862 -13.623047 65.631090
    Oben rechts KachelX + 1 15145 KachelY 8390 -0.23757527 1.14547862 -13.612060 65.631090
    Unten links KachelX 15144 KachelY + 1 8391 -0.23776702 1.14539949 -13.623047 65.626557
    Unten rechts KachelX + 1 15145 KachelY + 1 8391 -0.23757527 1.14539949 -13.612060 65.626557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14547862-1.14539949) × R
    7.91300000000383e-05 × 6371000     		dl = 504.137230000244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14547862-1.14539949) × R
    7.91300000000383e-05 × 6371000     		dr = 504.137230000244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23776702--0.23757527) × cos(1.14547862) × R
    0.000191749999999991 × 0.412610204125093 × 6371000     		do = 504.0608203097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23776702--0.23757527) × cos(1.14539949) × R
    0.000191749999999991 × 0.412682282958725 × 6371000     		du = 504.14887464196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14547862)-sin(1.14539949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412610204125093-0.412682282958725)×R²
    abs(-0.23757527--0.23776702)×7.20788336325273e-05×R²
    0.000191749999999991×7.20788336325273e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.20788336325273e-05×40589641000000     		ar = 254138.021569337m²