Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15143 / 8327
↖ ↑ ↗
← N 65.915107°
W 13.634033°		 ← 498.54 m → N 65.915107°
W 13.623047°		 →
↑
498.59 m
↓
↑
498.59 m
↓
N 65.910623°
W 13.634033°		 ← 498.63 m →
248 590 m²		 N 65.910623°
W 13.623047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462142944335938 y=0.254135131835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462142944335938 × 215)
    floor (0.462142944335938 × 32768)
    floor (15143.5)     		tx = 15143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254135131835938 × 215)
    floor (0.254135131835938 × 32768)
    floor (8327.5)     		ty = 8327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15143 / 8327 ti = "15/15143/8327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15143/8327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15143 ÷ 215
    15143 ÷ 32768     		x = 0.462127685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8327 ÷ 215
    8327 ÷ 32768     		y = 0.254119873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462127685546875 × 2 - 1) × π
    -0.07574462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23795877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.254119873046875 × 2 - 1) × π
    0.49176025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.54491040095517
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23795877} λ = -0.23795877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54491040095517))-π/2
    2×atan(4.68755160805897)-π/2
    2×1.36061598660849-π/2
    2.72123197321698-1.57079632675     		φ = 1.15043565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23795877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.634033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15043565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.915107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15143 KachelY 8327 -0.23795877 1.15043565 -13.634033 65.915107
    Oben rechts KachelX + 1 15144 KachelY 8327 -0.23776702 1.15043565 -13.623047 65.915107
    Unten links KachelX 15143 KachelY + 1 8328 -0.23795877 1.15035739 -13.634033 65.910623
    Unten rechts KachelX + 1 15144 KachelY + 1 8328 -0.23776702 1.15035739 -13.623047 65.910623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15043565-1.15035739) × R
    7.82599999999967e-05 × 6371000     		dl = 498.594459999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15043565-1.15035739) × R
    7.82599999999967e-05 × 6371000     		dr = 498.594459999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23795877--0.23776702) × cos(1.15043565) × R
    0.000191749999999991 × 0.408089756522558 × 6371000     		do = 498.538464090875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23795877--0.23776702) × cos(1.15035739) × R
    0.000191749999999991 × 0.40816120209893 × 6371000     		du = 498.62574481121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15043565)-sin(1.15035739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408089756522558-0.40816120209893)×R²
    abs(-0.23776702--0.23795877)×7.1445576372009e-05×R²
    0.000191749999999991×7.1445576372009e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.1445576372009e-05×40589641000000     		ar = 248590.275261186m²