Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15143 / 20660
↖ ↑ ↗
← S 42.455888°
W 13.634033°		 ← 901.32 m → S 42.455888°
W 13.623047°		 →
↑
901.24 m
↓
↑
901.24 m
↓
S 42.463993°
W 13.634033°		 ← 901.21 m →
812 256 m²		 S 42.463993°
W 13.623047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462142944335938 y=0.630508422851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462142944335938 × 215)
    floor (0.462142944335938 × 32768)
    floor (15143.5)     		tx = 15143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630508422851562 × 215)
    floor (0.630508422851562 × 32768)
    floor (20660.5)     		ty = 20660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15143 / 20660 ti = "15/15143/20660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15143/20660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15143 ÷ 215
    15143 ÷ 32768     		x = 0.462127685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20660 ÷ 215
    20660 ÷ 32768     		y = 0.6304931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462127685546875 × 2 - 1) × π
    -0.07574462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23795877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6304931640625 × 2 - 1) × π
    -0.260986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.81991273110144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23795877} λ = -0.23795877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81991273110144))-π/2
    2×atan(0.440470092168561)-π/2
    2×0.414900650301505-π/2
    0.82980130060301-1.57079632675     		φ = -0.74099503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23795877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.634033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74099503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.455888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15143 KachelY 20660 -0.23795877 -0.74099503 -13.634033 -42.455888
    Oben rechts KachelX + 1 15144 KachelY 20660 -0.23776702 -0.74099503 -13.623047 -42.455888
    Unten links KachelX 15143 KachelY + 1 20661 -0.23795877 -0.74113649 -13.634033 -42.463993
    Unten rechts KachelX + 1 15144 KachelY + 1 20661 -0.23776702 -0.74113649 -13.623047 -42.463993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74099503--0.74113649) × R
    0.000141460000000038 × 6371000     		dl = 901.24166000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74099503--0.74113649) × R
    0.000141460000000038 × 6371000     		dr = 901.24166000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23795877--0.23776702) × cos(-0.74099503) × R
    0.000191749999999991 × 0.737797256566414 × 6371000     		do = 901.322087163807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23795877--0.23776702) × cos(-0.74113649) × R
    0.000191749999999991 × 0.737701760519407 × 6371000     		du = 901.205425444564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74099503)-sin(-0.74113649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737797256566414-0.737701760519407)×R²
    abs(-0.23776702--0.23795877)×9.5496047006427e-05×R²
    0.000191749999999991×9.5496047006427e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.5496047006427e-05×40589641000000     		ar = 812256.445184308m²