Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15142 / 8235
↖ ↑ ↗
← N 66.324274°
W 13.645020°		 ← 490.56 m → N 66.324274°
W 13.634033°		 →
↑
490.63 m
↓
↑
490.63 m
↓
N 66.319861°
W 13.645020°		 ← 490.65 m →
240 706 m²		 N 66.319861°
W 13.634033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462112426757812 y=0.251327514648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462112426757812 × 215)
    floor (0.462112426757812 × 32768)
    floor (15142.5)     		tx = 15142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251327514648438 × 215)
    floor (0.251327514648438 × 32768)
    floor (8235.5)     		ty = 8235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15142 / 8235 ti = "15/15142/8235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15142/8235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15142 ÷ 215
    15142 ÷ 32768     		x = 0.46209716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8235 ÷ 215
    8235 ÷ 32768     		y = 0.251312255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46209716796875 × 2 - 1) × π
    -0.0758056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23815052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251312255859375 × 2 - 1) × π
    0.49737548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.56255118001535
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23815052} λ = -0.23815052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56255118001535))-π/2
    2×atan(4.77097735441341)-π/2
    2×1.3641866366899-π/2
    2.72837327337979-1.57079632675     		φ = 1.15757695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23815052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.645020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15757695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.324274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15142 KachelY 8235 -0.23815052 1.15757695 -13.645020 66.324274
    Oben rechts KachelX + 1 15143 KachelY 8235 -0.23795877 1.15757695 -13.634033 66.324274
    Unten links KachelX 15142 KachelY + 1 8236 -0.23815052 1.15749994 -13.645020 66.319861
    Unten rechts KachelX + 1 15143 KachelY + 1 8236 -0.23795877 1.15749994 -13.634033 66.319861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15757695-1.15749994) × R
    7.7010000000044e-05 × 6371000     		dl = 490.63071000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15757695-1.15749994) × R
    7.7010000000044e-05 × 6371000     		dr = 490.63071000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23815052--0.23795877) × cos(1.15757695) × R
    0.000191750000000018 × 0.401559814710403 × 6371000     		do = 490.561230873002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23815052--0.23795877) × cos(1.15749994) × R
    0.000191750000000018 × 0.401630341803429 × 6371000     		du = 490.647389538031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15757695)-sin(1.15749994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401559814710403-0.401630341803429)×R²
    abs(-0.23795877--0.23815052)×7.05270930264068e-05×R²
    0.000191750000000018×7.05270930264068e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.05270930264068e-05×40589641000000     		ar = 240705.541163735m²