Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15142 / 10189
↖ ↑ ↗
← N 56.090427°
W 13.645020°		 ← 681.53 m → N 56.090427°
W 13.634033°		 →
↑
681.57 m
↓
↑
681.57 m
↓
N 56.084297°
W 13.645020°		 ← 681.64 m →
464 549 m²		 N 56.084297°
W 13.634033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462112426757812 y=0.310958862304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462112426757812 × 215)
    floor (0.462112426757812 × 32768)
    floor (15142.5)     		tx = 15142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310958862304688 × 215)
    floor (0.310958862304688 × 32768)
    floor (10189.5)     		ty = 10189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15142 / 10189 ti = "15/15142/10189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15142/10189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15142 ÷ 215
    15142 ÷ 32768     		x = 0.46209716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10189 ÷ 215
    10189 ÷ 32768     		y = 0.310943603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46209716796875 × 2 - 1) × π
    -0.0758056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23815052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310943603515625 × 2 - 1) × π
    0.37811279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.18787637258499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23815052} λ = -0.23815052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18787637258499))-π/2
    2×atan(3.28010807840031)-π/2
    2×1.2748794796443-π/2
    2.54975895928861-1.57079632675     		φ = 0.97896263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23815052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.645020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97896263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.090427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15142 KachelY 10189 -0.23815052 0.97896263 -13.645020 56.090427
    Oben rechts KachelX + 1 15143 KachelY 10189 -0.23795877 0.97896263 -13.634033 56.090427
    Unten links KachelX 15142 KachelY + 1 10190 -0.23815052 0.97885565 -13.645020 56.084297
    Unten rechts KachelX + 1 15143 KachelY + 1 10190 -0.23795877 0.97885565 -13.634033 56.084297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97896263-0.97885565) × R
    0.000106979999999979 × 6371000     		dl = 681.569579999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97896263-0.97885565) × R
    0.000106979999999979 × 6371000     		dr = 681.569579999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23815052--0.23795877) × cos(0.97896263) × R
    0.000191750000000018 × 0.557883779952799 × 6371000     		do = 681.532722528767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23815052--0.23795877) × cos(0.97885565) × R
    0.000191750000000018 × 0.557972561503958 × 6371000     		du = 681.641181556339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97896263)-sin(0.97885565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557883779952799-0.557972561503958)×R²
    abs(-0.23795877--0.23815052)×8.87815511589896e-05×R²
    0.000191750000000018×8.87815511589896e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.87815511589896e-05×40589641000000     		ar = 464548.933080075m²