Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15141 / 8649
↖ ↑ ↗
← N 64.430151°
W 13.656006°		 ← 527.25 m → N 64.430151°
W 13.645020°		 →
↑
527.33 m
↓
↑
527.33 m
↓
N 64.425408°
W 13.656006°		 ← 527.34 m →
278 055 m²		 N 64.425408°
W 13.645020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462081909179688 y=0.263961791992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462081909179688 × 215)
    floor (0.462081909179688 × 32768)
    floor (15141.5)     		tx = 15141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263961791992188 × 215)
    floor (0.263961791992188 × 32768)
    floor (8649.5)     		ty = 8649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15141 / 8649 ti = "15/15141/8649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15141/8649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15141 ÷ 215
    15141 ÷ 32768     		x = 0.462066650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8649 ÷ 215
    8649 ÷ 32768     		y = 0.263946533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462066650390625 × 2 - 1) × π
    -0.07586669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23834226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263946533203125 × 2 - 1) × π
    0.47210693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.48316767424454
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23834226} λ = -0.23834226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48316767424454))-π/2
    2×atan(4.40688316486007)-π/2
    2×1.3476572964281-π/2
    2.6953145928562-1.57079632675     		φ = 1.12451827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23834226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.656006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12451827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.430151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15141 KachelY 8649 -0.23834226 1.12451827 -13.656006 64.430151
    Oben rechts KachelX + 1 15142 KachelY 8649 -0.23815052 1.12451827 -13.645020 64.430151
    Unten links KachelX 15141 KachelY + 1 8650 -0.23834226 1.12443550 -13.656006 64.425408
    Unten rechts KachelX + 1 15142 KachelY + 1 8650 -0.23815052 1.12443550 -13.645020 64.425408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12451827-1.12443550) × R
    8.27700000001208e-05 × 6371000     		dl = 527.32767000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12451827-1.12443550) × R
    8.27700000001208e-05 × 6371000     		dr = 527.32767000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23834226--0.23815052) × cos(1.12451827) × R
    0.000191739999999996 × 0.431611116119732 × 6371000     		do = 527.245582243953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23834226--0.23815052) × cos(1.12443550) × R
    0.000191739999999996 × 0.431685778129078 × 6371000     		du = 527.336787528337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12451827)-sin(1.12443550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431611116119732-0.431685778129078)×R²
    abs(-0.23815052--0.23834226)×7.4662009345694e-05×R²
    0.000191739999999996×7.4662009345694e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.4662009345694e-05×40589641000000     		ar = 278055.23209629m²