Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15141 / 20645
↖ ↑ ↗
← S 42.334184°
W 13.656006°		 ← 903.02 m → S 42.334184°
W 13.645020°		 →
↑
903.03 m
↓
↑
903.03 m
↓
S 42.342305°
W 13.656006°		 ← 902.91 m →
815 402 m²		 S 42.342305°
W 13.645020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462081909179688 y=0.630050659179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462081909179688 × 215)
    floor (0.462081909179688 × 32768)
    floor (15141.5)     		tx = 15141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630050659179688 × 215)
    floor (0.630050659179688 × 32768)
    floor (20645.5)     		ty = 20645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15141 / 20645 ti = "15/15141/20645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15141/20645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15141 ÷ 215
    15141 ÷ 32768     		x = 0.462066650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20645 ÷ 215
    20645 ÷ 32768     		y = 0.630035400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462066650390625 × 2 - 1) × π
    -0.07586669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23834226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630035400390625 × 2 - 1) × π
    -0.26007080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.817036517124237
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23834226} λ = -0.23834226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.817036517124237))-π/2
    2×atan(0.441738802070144)-π/2
    2×0.415962711565572-π/2
    0.831925423131143-1.57079632675     		φ = -0.73887090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23834226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.656006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73887090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.334184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15141 KachelY 20645 -0.23834226 -0.73887090 -13.656006 -42.334184
    Oben rechts KachelX + 1 15142 KachelY 20645 -0.23815052 -0.73887090 -13.645020 -42.334184
    Unten links KachelX 15141 KachelY + 1 20646 -0.23834226 -0.73901264 -13.656006 -42.342305
    Unten rechts KachelX + 1 15142 KachelY + 1 20646 -0.23815052 -0.73901264 -13.645020 -42.342305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73887090--0.73901264) × R
    0.000141740000000001 × 6371000     		dl = 903.025540000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73887090--0.73901264) × R
    0.000141740000000001 × 6371000     		dr = 903.025540000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23834226--0.23815052) × cos(-0.73887090) × R
    0.000191739999999996 × 0.739229426324362 × 6371000     		do = 903.024585646053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23834226--0.23815052) × cos(-0.73901264) × R
    0.000191739999999996 × 0.73913396357484 × 6371000     		du = 902.907970686255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73887090)-sin(-0.73901264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739229426324362-0.73913396357484)×R²
    abs(-0.23815052--0.23834226)×9.54627495222127e-05×R²
    0.000191739999999996×9.54627495222127e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.54627495222127e-05×40589641000000     		ar = 815401.612307803m²