Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15140 / 6700
↖ ↑ ↗
← N 72.248917°
W 13.666992°		 ← 372.46 m → N 72.248917°
W 13.656006°		 →
↑
372.51 m
↓
↑
372.51 m
↓
N 72.245567°
W 13.666992°		 ← 372.52 m →
138 757 m²		 N 72.245567°
W 13.656006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462051391601562 y=0.204483032226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462051391601562 × 215)
    floor (0.462051391601562 × 32768)
    floor (15140.5)     		tx = 15140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.204483032226562 × 215)
    floor (0.204483032226562 × 32768)
    floor (6700.5)     		ty = 6700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15140 / 6700 ti = "15/15140/6700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15140/6700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15140 ÷ 215
    15140 ÷ 32768     		x = 0.4620361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6700 ÷ 215
    6700 ÷ 32768     		y = 0.2044677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4620361328125 × 2 - 1) × π
    -0.075927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23853401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2044677734375 × 2 - 1) × π
    0.591064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.8568837436825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23853401} λ = -0.23853401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8568837436825))-π/2
    2×atan(6.4037499193846)-π/2
    2×1.41588890269252-π/2
    2.83177780538505-1.57079632675     		φ = 1.26098148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23853401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.666992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26098148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.248917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15140 KachelY 6700 -0.23853401 1.26098148 -13.666992 72.248917
    Oben rechts KachelX + 1 15141 KachelY 6700 -0.23834226 1.26098148 -13.656006 72.248917
    Unten links KachelX 15140 KachelY + 1 6701 -0.23853401 1.26092301 -13.666992 72.245567
    Unten rechts KachelX + 1 15141 KachelY + 1 6701 -0.23834226 1.26092301 -13.656006 72.245567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26098148-1.26092301) × R
    5.84700000001437e-05 × 6371000     		dl = 372.512370000915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26098148-1.26092301) × R
    5.84700000001437e-05 × 6371000     		dr = 372.512370000915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23853401--0.23834226) × cos(1.26098148) × R
    0.000191749999999991 × 0.304882303602693 × 6371000     		do = 372.456188711448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23853401--0.23834226) × cos(1.26092301) × R
    0.000191749999999991 × 0.304937989326918 × 6371000     		du = 372.524216577826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26098148)-sin(1.26092301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304882303602693-0.304937989326918)×R²
    abs(-0.23834226--0.23853401)×5.56857242250408e-05×R²
    0.000191749999999991×5.56857242250408e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.56857242250408e-05×40589641000000     		ar = 138757.20822892m²