Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15140 / 6698
↖ ↑ ↗
← N 72.255615°
W 13.666992°		 ← 372.32 m → N 72.255615°
W 13.656006°		 →
↑
372.38 m
↓
↑
372.38 m
↓
N 72.252266°
W 13.666992°		 ← 372.39 m →
138 659 m²		 N 72.252266°
W 13.656006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462051391601562 y=0.204421997070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462051391601562 × 215)
    floor (0.462051391601562 × 32768)
    floor (15140.5)     		tx = 15140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.204421997070312 × 215)
    floor (0.204421997070312 × 32768)
    floor (6698.5)     		ty = 6698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15140 / 6698 ti = "15/15140/6698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15140/6698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15140 ÷ 215
    15140 ÷ 32768     		x = 0.4620361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6698 ÷ 215
    6698 ÷ 32768     		y = 0.20440673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4620361328125 × 2 - 1) × π
    -0.075927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23853401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20440673828125 × 2 - 1) × π
    0.5911865234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.85726723887946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23853401} λ = -0.23853401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85726723887946))-π/2
    2×atan(6.40620619767658)-π/2
    2×1.41594735246752-π/2
    2.83189470493505-1.57079632675     		φ = 1.26109838
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23853401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.666992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26109838 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.255615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15140 KachelY 6698 -0.23853401 1.26109838 -13.666992 72.255615
    Oben rechts KachelX + 1 15141 KachelY 6698 -0.23834226 1.26109838 -13.656006 72.255615
    Unten links KachelX 15140 KachelY + 1 6699 -0.23853401 1.26103993 -13.666992 72.252266
    Unten rechts KachelX + 1 15141 KachelY + 1 6699 -0.23834226 1.26103993 -13.656006 72.252266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26109838-1.26103993) × R
    5.84500000000432e-05 × 6371000     		dl = 372.384950000275m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26109838-1.26103993) × R
    5.84500000000432e-05 × 6371000     		dr = 372.384950000275m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23853401--0.23834226) × cos(1.26109838) × R
    0.000191749999999991 × 0.30477096712452 × 6371000     		do = 372.320175699755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23853401--0.23834226) × cos(1.26103993) × R
    0.000191749999999991 × 0.304826635884312 × 6371000     		du = 372.388182841716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26109838)-sin(1.26103993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30477096712452-0.304826635884312)×R²
    abs(-0.23834226--0.23853401)×5.56687597919048e-05×R²
    0.000191749999999991×5.56687597919048e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.56687597919048e-05×40589641000000     		ar = 138659.092469885m²