Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15139 / 10191
↖ ↑ ↗
← N 56.078167°
W 13.677979°		 ← 681.75 m → N 56.078167°
W 13.666992°		 →
↑
681.76 m
↓
↑
681.76 m
↓
N 56.072036°
W 13.677979°		 ← 681.86 m →
464 827 m²		 N 56.072036°
W 13.666992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462020874023438 y=0.311019897460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462020874023438 × 215)
    floor (0.462020874023438 × 32768)
    floor (15139.5)     		tx = 15139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311019897460938 × 215)
    floor (0.311019897460938 × 32768)
    floor (10191.5)     		ty = 10191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15139 / 10191 ti = "15/15139/10191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15139/10191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15139 ÷ 215
    15139 ÷ 32768     		x = 0.462005615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10191 ÷ 215
    10191 ÷ 32768     		y = 0.311004638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462005615234375 × 2 - 1) × π
    -0.07598876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23872576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311004638671875 × 2 - 1) × π
    0.37799072265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18749287738803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23872576} λ = -0.23872576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18749287738803))-π/2
    2×atan(3.2788504138763)-π/2
    2×1.27477248974555-π/2
    2.54954497949109-1.57079632675     		φ = 0.97874865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23872576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.677979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97874865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.078167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15139 KachelY 10191 -0.23872576 0.97874865 -13.677979 56.078167
    Oben rechts KachelX + 1 15140 KachelY 10191 -0.23853401 0.97874865 -13.666992 56.078167
    Unten links KachelX 15139 KachelY + 1 10192 -0.23872576 0.97864164 -13.677979 56.072036
    Unten rechts KachelX + 1 15140 KachelY + 1 10192 -0.23853401 0.97864164 -13.666992 56.072036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97874865-0.97864164) × R
    0.000107010000000018 × 6371000     		dl = 681.760710000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97874865-0.97864164) × R
    0.000107010000000018 × 6371000     		dr = 681.760710000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23872576--0.23853401) × cos(0.97874865) × R
    0.000191750000000018 × 0.558061353265271 × 6371000     		do = 681.749653057035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23872576--0.23853401) × cos(0.97864164) × R
    0.000191750000000018 × 0.558150146934739 × 6371000     		du = 681.858126888809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97874865)-sin(0.97864164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558061353265271-0.558150146934739)×R²
    abs(-0.23853401--0.23872576)×8.87936694682345e-05×R²
    0.000191750000000018×8.87936694682345e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.87936694682345e-05×40589641000000     		ar = 464827.104552605m²