Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15138 / 9933
↖ ↑ ↗
← N 57.627758°
W 13.688965°		 ← 654.09 m → N 57.627758°
W 13.677979°		 →
↑
654.11 m
↓
↑
654.11 m
↓
N 57.621876°
W 13.688965°		 ← 654.19 m →
427 880 m²		 N 57.621876°
W 13.677979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461990356445312 y=0.303146362304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461990356445312 × 215)
    floor (0.461990356445312 × 32768)
    floor (15138.5)     		tx = 15138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303146362304688 × 215)
    floor (0.303146362304688 × 32768)
    floor (9933.5)     		ty = 9933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15138 / 9933 ti = "15/15138/9933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15138/9933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15138 ÷ 215
    15138 ÷ 32768     		x = 0.46197509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9933 ÷ 215
    9933 ÷ 32768     		y = 0.303131103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46197509765625 × 2 - 1) × π
    -0.0760498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23891751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303131103515625 × 2 - 1) × π
    0.39373779296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.23696375779593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23891751} λ = -0.23891751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23696375779593))-π/2
    2×atan(3.44513729745877)-π/2
    2×1.288295223351-π/2
    2.57659044670199-1.57079632675     		φ = 1.00579412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23891751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.688965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00579412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.627758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15138 KachelY 9933 -0.23891751 1.00579412 -13.688965 57.627758
    Oben rechts KachelX + 1 15139 KachelY 9933 -0.23872576 1.00579412 -13.677979 57.627758
    Unten links KachelX 15138 KachelY + 1 9934 -0.23891751 1.00569145 -13.688965 57.621876
    Unten rechts KachelX + 1 15139 KachelY + 1 9934 -0.23872576 1.00569145 -13.677979 57.621876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00579412-1.00569145) × R
    0.000102669999999971 × 6371000     		dl = 654.110569999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00579412-1.00569145) × R
    0.000102669999999971 × 6371000     		dr = 654.110569999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23891751--0.23872576) × cos(1.00579412) × R
    0.000191749999999991 × 0.535417679843693 × 6371000     		do = 654.087252840957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23891751--0.23872576) × cos(1.00569145) × R
    0.000191749999999991 × 0.535504390811882 × 6371000     		du = 654.193182363102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00579412)-sin(1.00569145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.535417679843693-0.535504390811882)×R²
    abs(-0.23872576--0.23891751)×8.67109681894629e-05×R²
    0.000191749999999991×8.67109681894629e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.67109681894629e-05×40589641000000     		ar = 427880.030971368m²