Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15138 / 8607
↖ ↑ ↗
← N 64.628585°
W 13.688965°		 ← 523.45 m → N 64.628585°
W 13.677979°		 →
↑
523.51 m
↓
↑
523.51 m
↓
N 64.623877°
W 13.688965°		 ← 523.54 m →
274 054 m²		 N 64.623877°
W 13.677979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461990356445312 y=0.262680053710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461990356445312 × 215)
    floor (0.461990356445312 × 32768)
    floor (15138.5)     		tx = 15138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262680053710938 × 215)
    floor (0.262680053710938 × 32768)
    floor (8607.5)     		ty = 8607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15138 / 8607 ti = "15/15138/8607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15138/8607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15138 ÷ 215
    15138 ÷ 32768     		x = 0.46197509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8607 ÷ 215
    8607 ÷ 32768     		y = 0.262664794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46197509765625 × 2 - 1) × π
    -0.0760498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23891751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262664794921875 × 2 - 1) × π
    0.47467041015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.49122107338071
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23891751} λ = -0.23891751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49122107338071))-π/2
    2×atan(4.44251684747591)-π/2
    2×1.34938896366485-π/2
    2.69877792732969-1.57079632675     		φ = 1.12798160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23891751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.688965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12798160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.628585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15138 KachelY 8607 -0.23891751 1.12798160 -13.688965 64.628585
    Oben rechts KachelX + 1 15139 KachelY 8607 -0.23872576 1.12798160 -13.677979 64.628585
    Unten links KachelX 15138 KachelY + 1 8608 -0.23891751 1.12789943 -13.688965 64.623877
    Unten rechts KachelX + 1 15139 KachelY + 1 8608 -0.23872576 1.12789943 -13.677979 64.623877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12798160-1.12789943) × R
    8.21699999999925e-05 × 6371000     		dl = 523.505069999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12798160-1.12789943) × R
    8.21699999999925e-05 × 6371000     		dr = 523.505069999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23891751--0.23872576) × cos(1.12798160) × R
    0.000191749999999991 × 0.428484403161101 × 6371000     		do = 523.453364914399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23891751--0.23872576) × cos(1.12789943) × R
    0.000191749999999991 × 0.428558646350392 × 6371000     		du = 523.544063308483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12798160)-sin(1.12789943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428484403161101-0.428558646350392)×R²
    abs(-0.23872576--0.23891751)×7.42431892917228e-05×R²
    0.000191749999999991×7.42431892917228e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.42431892917228e-05×40589641000000     		ar = 274054.231130141m²