Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15138 / 8414
↖ ↑ ↗
← N 65.522069°
W 13.688965°		 ← 506.18 m → N 65.522069°
W 13.677979°		 →
↑
506.24 m
↓
↑
506.24 m
↓
N 65.517516°
W 13.688965°		 ← 506.27 m →
256 269 m²		 N 65.517516°
W 13.677979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461990356445312 y=0.256790161132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461990356445312 × 215)
    floor (0.461990356445312 × 32768)
    floor (15138.5)     		tx = 15138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256790161132812 × 215)
    floor (0.256790161132812 × 32768)
    floor (8414.5)     		ty = 8414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15138 / 8414 ti = "15/15138/8414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15138/8414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15138 ÷ 215
    15138 ÷ 32768     		x = 0.46197509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8414 ÷ 215
    8414 ÷ 32768     		y = 0.25677490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46197509765625 × 2 - 1) × π
    -0.0760498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23891751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25677490234375 × 2 - 1) × π
    0.4864501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.52822835988739
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23891751} λ = -0.23891751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52822835988739))-π/2
    2×atan(4.610002318272)-π/2
    2×1.35718607612273-π/2
    2.71437215224546-1.57079632675     		φ = 1.14357583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23891751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.688965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14357583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.522069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15138 KachelY 8414 -0.23891751 1.14357583 -13.688965 65.522069
    Oben rechts KachelX + 1 15139 KachelY 8414 -0.23872576 1.14357583 -13.677979 65.522069
    Unten links KachelX 15138 KachelY + 1 8415 -0.23891751 1.14349637 -13.688965 65.517516
    Unten rechts KachelX + 1 15139 KachelY + 1 8415 -0.23872576 1.14349637 -13.677979 65.517516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14357583-1.14349637) × R
    7.94600000000312e-05 × 6371000     		dl = 506.239660000199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14357583-1.14349637) × R
    7.94600000000312e-05 × 6371000     		dr = 506.239660000199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23891751--0.23872576) × cos(1.14357583) × R
    0.000191749999999991 × 0.414342722172328 × 6371000     		do = 506.177332357537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23891751--0.23872576) × cos(1.14349637) × R
    0.000191749999999991 × 0.414415039073352 × 6371000     		du = 506.265677522265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14357583)-sin(1.14349637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414342722172328-0.414415039073352)×R²
    abs(-0.23872576--0.23891751)×7.23169010235503e-05×R²
    0.000191749999999991×7.23169010235503e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.23169010235503e-05×40589641000000     		ar = 256269.402681158m²