Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15138 / 21026
↖ ↑ ↗
← S 45.352145°
W 13.688965°		 ← 858.50 m → S 45.352145°
W 13.677979°		 →
↑
858.43 m
↓
↑
858.43 m
↓
S 45.359865°
W 13.688965°		 ← 858.39 m →
736 914 m²		 S 45.359865°
W 13.677979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461990356445312 y=0.641677856445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461990356445312 × 215)
    floor (0.461990356445312 × 32768)
    floor (15138.5)     		tx = 15138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641677856445312 × 215)
    floor (0.641677856445312 × 32768)
    floor (21026.5)     		ty = 21026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15138 / 21026 ti = "15/15138/21026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15138/21026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15138 ÷ 215
    15138 ÷ 32768     		x = 0.46197509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21026 ÷ 215
    21026 ÷ 32768     		y = 0.64166259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46197509765625 × 2 - 1) × π
    -0.0760498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23891751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64166259765625 × 2 - 1) × π
    -0.2833251953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.890092352145203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23891751} λ = -0.23891751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.890092352145203))-π/2
    2×atan(0.41061782956381)-π/2
    2×0.389626034714984-π/2
    0.779252069429968-1.57079632675     		φ = -0.79154426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23891751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.688965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79154426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.352145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15138 KachelY 21026 -0.23891751 -0.79154426 -13.688965 -45.352145
    Oben rechts KachelX + 1 15139 KachelY 21026 -0.23872576 -0.79154426 -13.677979 -45.352145
    Unten links KachelX 15138 KachelY + 1 21027 -0.23891751 -0.79167900 -13.688965 -45.359865
    Unten rechts KachelX + 1 15139 KachelY + 1 21027 -0.23872576 -0.79167900 -13.677979 -45.359865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79154426--0.79167900) × R
    0.000134740000000022 × 6371000     		dl = 858.428540000141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79154426--0.79167900) × R
    0.000134740000000022 × 6371000     		dr = 858.428540000141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23891751--0.23872576) × cos(-0.79154426) × R
    0.000191749999999991 × 0.702747506700268 × 6371000     		do = 858.503937024644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23891751--0.23872576) × cos(-0.79167900) × R
    0.000191749999999991 × 0.702651640984049 × 6371000     		du = 858.386823702981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79154426)-sin(-0.79167900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702747506700268-0.702651640984049)×R²
    abs(-0.23872576--0.23891751)×9.58657162193344e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58657162193344e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58657162193344e-05×40589641000000     		ar = 736914.015650837m²