Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15138 / 10786
↖ ↑ ↗
← N 76.140327°
W 96.844482°		 ← 146.31 m → N 76.140327°
W 96.838989°		 →
↑
146.34 m
↓
↑
146.34 m
↓
N 76.139011°
W 96.844482°		 ← 146.32 m →
21 412 m²		 N 76.139011°
W 96.838989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230995178222656 y=0.164588928222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230995178222656 × 216)
    floor (0.230995178222656 × 65536)
    floor (15138.5)     		tx = 15138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164588928222656 × 216)
    floor (0.164588928222656 × 65536)
    floor (10786.5)     		ty = 10786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15138 / 10786 ti = "16/15138/10786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15138/10786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15138 ÷ 216
    15138 ÷ 65536     		x = 0.230987548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10786 ÷ 216
    10786 ÷ 65536     		y = 0.164581298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.230987548828125 × 2 - 1) × π
    -0.53802490234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.69025508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164581298828125 × 2 - 1) × π
    0.67083740234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.10749785489615
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69025508} λ = -1.69025508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10749785489615))-π/2
    2×atan(8.22762878656561)-π/2
    2×1.4498478631721-π/2
    2.89969572634419-1.57079632675     		φ = 1.32889940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69025508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.844482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32889940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.140327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15138 KachelY 10786 -1.69025508 1.32889940 -96.844482 76.140327
    Oben rechts KachelX + 1 15139 KachelY 10786 -1.69015921 1.32889940 -96.838989 76.140327
    Unten links KachelX 15138 KachelY + 1 10787 -1.69025508 1.32887643 -96.844482 76.139011
    Unten rechts KachelX + 1 15139 KachelY + 1 10787 -1.69015921 1.32887643 -96.838989 76.139011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32889940-1.32887643) × R
    2.29700000000665e-05 × 6371000     		dl = 146.341870000424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32889940-1.32887643) × R
    2.29700000000665e-05 × 6371000     		dr = 146.341870000424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69025508--1.69015921) × cos(1.32889940) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.239544754687242 × 6371000     		do = 146.311006530615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69025508--1.69015921) × cos(1.32887643) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.239567055859916 × 6371000     		du = 146.324627814141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32889940)-sin(1.32887643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239544754687242-0.239567055859916)×R²
    abs(-1.69015921--1.69025508)×2.23011726739886e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.23011726739886e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.23011726739886e-05×40589641000000     		ar = 21412.4229801087m²