Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15137 / 8255
↖ ↑ ↗
← N 66.235885°
W 13.699951°		 ← 492.29 m → N 66.235885°
W 13.688965°		 →
↑
492.35 m
↓
↑
492.35 m
↓
N 66.231457°
W 13.699951°		 ← 492.37 m →
242 399 m²		 N 66.231457°
W 13.688965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461959838867188 y=0.251937866210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461959838867188 × 215)
    floor (0.461959838867188 × 32768)
    floor (15137.5)     		tx = 15137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251937866210938 × 215)
    floor (0.251937866210938 × 32768)
    floor (8255.5)     		ty = 8255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15137 / 8255 ti = "15/15137/8255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15137/8255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15137 ÷ 215
    15137 ÷ 32768     		x = 0.461944580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8255 ÷ 215
    8255 ÷ 32768     		y = 0.251922607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461944580078125 × 2 - 1) × π
    -0.07611083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23910926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251922607421875 × 2 - 1) × π
    0.49615478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.55871622804575
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23910926} λ = -0.23910926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.55871622804575))-π/2
    2×atan(4.75271592364679)-π/2
    2×1.36341530194954-π/2
    2.72683060389909-1.57079632675     		φ = 1.15603428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23910926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.699951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15603428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.235885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15137 KachelY 8255 -0.23910926 1.15603428 -13.699951 66.235885
    Oben rechts KachelX + 1 15138 KachelY 8255 -0.23891751 1.15603428 -13.688965 66.235885
    Unten links KachelX 15137 KachelY + 1 8256 -0.23910926 1.15595700 -13.699951 66.231457
    Unten rechts KachelX + 1 15138 KachelY + 1 8256 -0.23891751 1.15595700 -13.688965 66.231457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15603428-1.15595700) × R
    7.72800000001794e-05 × 6371000     		dl = 492.350880001143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15603428-1.15595700) × R
    7.72800000001794e-05 × 6371000     		dr = 492.350880001143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23910926--0.23891751) × cos(1.15603428) × R
    0.000191749999999991 × 0.402972164111522 × 6371000     		do = 492.286612336053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23910926--0.23891751) × cos(1.15595700) × R
    0.000191749999999991 × 0.403042890509652 × 6371000     		du = 492.373014480019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15603428)-sin(1.15595700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402972164111522-0.403042890509652)×R²
    abs(-0.23891751--0.23910926)×7.07263981296613e-05×R²
    0.000191749999999991×7.07263981296613e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.07263981296613e-05×40589641000000     		ar = 242399.017002902m²