Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15137 / 21045
↖ ↑ ↗
← S 45.498647°
W 13.699951°		 ← 856.28 m → S 45.498647°
W 13.688965°		 →
↑
856.20 m
↓
↑
856.20 m
↓
S 45.506347°
W 13.699951°		 ← 856.16 m →
733 095 m²		 S 45.506347°
W 13.688965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461959838867188 y=0.642257690429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461959838867188 × 215)
    floor (0.461959838867188 × 32768)
    floor (15137.5)     		tx = 15137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642257690429688 × 215)
    floor (0.642257690429688 × 32768)
    floor (21045.5)     		ty = 21045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15137 / 21045 ti = "15/15137/21045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15137/21045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15137 ÷ 215
    15137 ÷ 32768     		x = 0.461944580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21045 ÷ 215
    21045 ÷ 32768     		y = 0.642242431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461944580078125 × 2 - 1) × π
    -0.07611083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23910926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642242431640625 × 2 - 1) × π
    -0.28448486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.893735556516327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23910926} λ = -0.23910926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.893735556516327))-π/2
    2×atan(0.409124586638501)-π/2
    2×0.388347567270979-π/2
    0.776695134541957-1.57079632675     		φ = -0.79410119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23910926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.699951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79410119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.498647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15137 KachelY 21045 -0.23910926 -0.79410119 -13.699951 -45.498647
    Oben rechts KachelX + 1 15138 KachelY 21045 -0.23891751 -0.79410119 -13.688965 -45.498647
    Unten links KachelX 15137 KachelY + 1 21046 -0.23910926 -0.79423558 -13.699951 -45.506347
    Unten rechts KachelX + 1 15138 KachelY + 1 21046 -0.23891751 -0.79423558 -13.688965 -45.506347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79410119--0.79423558) × R
    0.00013439000000004 × 6371000     		dl = 856.198690000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79410119--0.79423558) × R
    0.00013439000000004 × 6371000     		dr = 856.198690000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23910926--0.23891751) × cos(-0.79410119) × R
    0.000191749999999991 × 0.700926110835598 × 6371000     		do = 856.278848346575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23910926--0.23891751) × cos(-0.79423558) × R
    0.000191749999999991 × 0.700830253003312 × 6371000     		du = 856.161744656234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79410119)-sin(-0.79423558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700926110835598-0.700830253003312)×R²
    abs(-0.23891751--0.23910926)×9.58578322866055e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58578322866055e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58578322866055e-05×40589641000000     		ar = 733094.697319754m²