Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15136 / 10141
↖ ↑ ↗
← N 56.383502°
W 13.710937°		 ← 676.30 m → N 56.383502°
W 13.699951°		 →
↑
676.41 m
↓
↑
676.41 m
↓
N 56.377419°
W 13.710937°		 ← 676.41 m →
457 494 m²		 N 56.377419°
W 13.699951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461929321289062 y=0.309494018554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461929321289062 × 215)
    floor (0.461929321289062 × 32768)
    floor (15136.5)     		tx = 15136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309494018554688 × 215)
    floor (0.309494018554688 × 32768)
    floor (10141.5)     		ty = 10141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15136 / 10141 ti = "15/15136/10141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15136/10141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15136 ÷ 215
    15136 ÷ 32768     		x = 0.4619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10141 ÷ 215
    10141 ÷ 32768     		y = 0.309478759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4619140625 × 2 - 1) × π
    -0.076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23930100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309478759765625 × 2 - 1) × π
    0.38104248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.19708025731204
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23930100} λ = -0.23930100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19708025731204))-π/2
    2×atan(3.31043717369304)-π/2
    2×1.27743703705831-π/2
    2.55487407411662-1.57079632675     		φ = 0.98407775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23930100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.710937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98407775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.383502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15136 KachelY 10141 -0.23930100 0.98407775 -13.710937 56.383502
    Oben rechts KachelX + 1 15137 KachelY 10141 -0.23910926 0.98407775 -13.699951 56.383502
    Unten links KachelX 15136 KachelY + 1 10142 -0.23930100 0.98397158 -13.710937 56.377419
    Unten rechts KachelX + 1 15137 KachelY + 1 10142 -0.23910926 0.98397158 -13.699951 56.377419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98407775-0.98397158) × R
    0.000106170000000017 × 6371000     		dl = 676.409070000105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98407775-0.98397158) × R
    0.000106170000000017 × 6371000     		dr = 676.409070000105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23930100--0.23910926) × cos(0.98407775) × R
    0.000191740000000024 × 0.553631364407413 × 6371000     		do = 676.302532937005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23930100--0.23910926) × cos(0.98397158) × R
    0.000191740000000024 × 0.553719775613438 × 6371000     		du = 676.410533903748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98407775)-sin(0.98397158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553631364407413-0.553719775613438)×R²
    abs(-0.23910926--0.23930100)×8.84112060254294e-05×R²
    0.000191740000000024×8.84112060254294e-05×6371000²
    0.000191740000000024×8.84112060254294e-05×40589641000000     		ar = 457493.694188834m²