Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15136 / 10007
↖ ↑ ↗
← N 57.189855°
W 13.710937°		 ← 661.92 m → N 57.189855°
W 13.699951°		 →
↑
661.95 m
↓
↑
661.95 m
↓
N 57.183902°
W 13.710937°		 ← 662.03 m →
438 191 m²		 N 57.183902°
W 13.699951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461929321289062 y=0.305404663085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461929321289062 × 215)
    floor (0.461929321289062 × 32768)
    floor (15136.5)     		tx = 15136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305404663085938 × 215)
    floor (0.305404663085938 × 32768)
    floor (10007.5)     		ty = 10007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15136 / 10007 ti = "15/15136/10007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15136/10007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15136 ÷ 215
    15136 ÷ 32768     		x = 0.4619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10007 ÷ 215
    10007 ÷ 32768     		y = 0.305389404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4619140625 × 2 - 1) × π
    -0.076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23930100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305389404296875 × 2 - 1) × π
    0.38922119140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.22277443550839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23930100} λ = -0.23930100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22277443550839))-π/2
    2×atan(3.39659831603359)-π/2
    2×1.28447380074876-π/2
    2.56894760149751-1.57079632675     		φ = 0.99815127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23930100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.710937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99815127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.189855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15136 KachelY 10007 -0.23930100 0.99815127 -13.710937 57.189855
    Oben rechts KachelX + 1 15137 KachelY 10007 -0.23910926 0.99815127 -13.699951 57.189855
    Unten links KachelX 15136 KachelY + 1 10008 -0.23930100 0.99804737 -13.710937 57.183902
    Unten rechts KachelX + 1 15137 KachelY + 1 10008 -0.23910926 0.99804737 -13.699951 57.183902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99815127-0.99804737) × R
    0.000103900000000046 × 6371000     		dl = 661.946900000291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99815127-0.99804737) × R
    0.000103900000000046 × 6371000     		dr = 661.946900000291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23930100--0.23910926) × cos(0.99815127) × R
    0.000191740000000024 × 0.541857034312678 × 6371000     		do = 661.91929929339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23930100--0.23910926) × cos(0.99804737) × R
    0.000191740000000024 × 0.541944356290851 × 6371000     		du = 662.02596968603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99815127)-sin(0.99804737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541857034312678-0.541944356290851)×R²
    abs(-0.23910926--0.23930100)×8.73219781729606e-05×R²
    0.000191740000000024×8.73219781729606e-05×6371000²
    0.000191740000000024×8.73219781729606e-05×40589641000000     		ar = 438190.733680042m²