Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15135 / 21043
↖ ↑ ↗
← S 45.483243°
W 13.721924°		 ← 856.51 m → S 45.483243°
W 13.710937°		 →
↑
856.45 m
↓
↑
856.45 m
↓
S 45.490946°
W 13.721924°		 ← 856.40 m →
733 513 m²		 S 45.490946°
W 13.710937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461898803710938 y=0.642196655273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461898803710938 × 215)
    floor (0.461898803710938 × 32768)
    floor (15135.5)     		tx = 15135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642196655273438 × 215)
    floor (0.642196655273438 × 32768)
    floor (21043.5)     		ty = 21043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15135 / 21043 ti = "15/15135/21043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15135/21043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15135 ÷ 215
    15135 ÷ 32768     		x = 0.461883544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21043 ÷ 215
    21043 ÷ 32768     		y = 0.642181396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461883544921875 × 2 - 1) × π
    -0.07623291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23949275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642181396484375 × 2 - 1) × π
    -0.28436279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.893352061319367
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23949275} λ = -0.23949275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.893352061319367))-π/2
    2×atan(0.409281514040964)-π/2
    2×0.388481986549978-π/2
    0.776963973099956-1.57079632675     		φ = -0.79383235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23949275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.721924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79383235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.483243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15135 KachelY 21043 -0.23949275 -0.79383235 -13.721924 -45.483243
    Oben rechts KachelX + 1 15136 KachelY 21043 -0.23930100 -0.79383235 -13.710937 -45.483243
    Unten links KachelX 15135 KachelY + 1 21044 -0.23949275 -0.79396678 -13.721924 -45.490946
    Unten rechts KachelX + 1 15136 KachelY + 1 21044 -0.23930100 -0.79396678 -13.710937 -45.490946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79383235--0.79396678) × R
    0.000134430000000019 × 6371000     		dl = 856.453530000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79383235--0.79396678) × R
    0.000134430000000019 × 6371000     		dr = 856.453530000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23949275--0.23930100) × cos(-0.79383235) × R
    0.000191749999999991 × 0.701117831303578 × 6371000     		do = 856.513061595287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23949275--0.23930100) × cos(-0.79396678) × R
    0.000191749999999991 × 0.701021970271482 × 6371000     		du = 856.395953995933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79383235)-sin(-0.79396678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701117831303578-0.701021970271482)×R²
    abs(-0.23930100--0.23949275)×9.58610320958009e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58610320958009e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58610320958009e-05×40589641000000     		ar = 733513.487590538m²