Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15135 / 10028
↖ ↑ ↗
← N 57.064630°
W 13.721924°		 ← 664.20 m → N 57.064630°
W 13.710937°		 →
↑
664.24 m
↓
↑
664.24 m
↓
N 57.058656°
W 13.721924°		 ← 664.30 m →
441 222 m²		 N 57.058656°
W 13.710937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461898803710938 y=0.306045532226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461898803710938 × 215)
    floor (0.461898803710938 × 32768)
    floor (15135.5)     		tx = 15135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306045532226562 × 215)
    floor (0.306045532226562 × 32768)
    floor (10028.5)     		ty = 10028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15135 / 10028 ti = "15/15135/10028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15135/10028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15135 ÷ 215
    15135 ÷ 32768     		x = 0.461883544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10028 ÷ 215
    10028 ÷ 32768     		y = 0.3060302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461883544921875 × 2 - 1) × π
    -0.07623291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23949275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3060302734375 × 2 - 1) × π
    0.387939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21874773594031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23949275} λ = -0.23949275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21874773594031))-π/2
    2×atan(3.38294873488593)-π/2
    2×1.28338100573895-π/2
    2.5667620114779-1.57079632675     		φ = 0.99596568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23949275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.721924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99596568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.064630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15135 KachelY 10028 -0.23949275 0.99596568 -13.721924 57.064630
    Oben rechts KachelX + 1 15136 KachelY 10028 -0.23930100 0.99596568 -13.710937 57.064630
    Unten links KachelX 15135 KachelY + 1 10029 -0.23949275 0.99586142 -13.721924 57.058656
    Unten rechts KachelX + 1 15136 KachelY + 1 10029 -0.23930100 0.99586142 -13.710937 57.058656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99596568-0.99586142) × R
    0.000104259999999967 × 6371000     		dl = 664.240459999791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99596568-0.99586142) × R
    0.000104259999999967 × 6371000     		dr = 664.240459999791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23949275--0.23930100) × cos(0.99596568) × R
    0.000191749999999991 × 0.54369266297948 × 6371000     		do = 664.196297032722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23949275--0.23930100) × cos(0.99586142) × R
    0.000191749999999991 × 0.54378016381487 × 6371000     		du = 664.303191487643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99596568)-sin(0.99586142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54369266297948-0.54378016381487)×R²
    abs(-0.23930100--0.23949275)×8.75008353905526e-05×R²
    0.000191749999999991×8.75008353905526e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.75008353905526e-05×40589641000000     		ar = 441221.556082064m²