Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15134 / 10025
↖ ↑ ↗
← N 57.082545°
W 13.732910°		 ← 663.88 m → N 57.082545°
W 13.721924°		 →
↑
663.92 m
↓
↑
663.92 m
↓
N 57.076574°
W 13.732910°		 ← 663.98 m →
440 797 m²		 N 57.076574°
W 13.721924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461868286132812 y=0.305953979492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461868286132812 × 215)
    floor (0.461868286132812 × 32768)
    floor (15134.5)     		tx = 15134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305953979492188 × 215)
    floor (0.305953979492188 × 32768)
    floor (10025.5)     		ty = 10025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15134 / 10025 ti = "15/15134/10025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15134/10025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15134 ÷ 215
    15134 ÷ 32768     		x = 0.46185302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10025 ÷ 215
    10025 ÷ 32768     		y = 0.305938720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46185302734375 × 2 - 1) × π
    -0.0762939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23968450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305938720703125 × 2 - 1) × π
    0.38812255859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.21932297873575
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23968450} λ = -0.23968450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21932297873575))-π/2
    2×atan(3.38489531159645)-π/2
    2×1.28353734563604-π/2
    2.56707469127208-1.57079632675     		φ = 0.99627836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23968450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.732910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99627836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.082545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15134 KachelY 10025 -0.23968450 0.99627836 -13.732910 57.082545
    Oben rechts KachelX + 1 15135 KachelY 10025 -0.23949275 0.99627836 -13.721924 57.082545
    Unten links KachelX 15134 KachelY + 1 10026 -0.23968450 0.99617415 -13.732910 57.076574
    Unten rechts KachelX + 1 15135 KachelY + 1 10026 -0.23949275 0.99617415 -13.721924 57.076574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99627836-0.99617415) × R
    0.000104210000000049 × 6371000     		dl = 663.921910000312m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99627836-0.99617415) × R
    0.000104210000000049 × 6371000     		dr = 663.921910000312m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23968450--0.23949275) × cos(0.99627836) × R
    0.000191749999999991 × 0.543430208962434 × 6371000     		do = 663.875672904178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23968450--0.23949275) × cos(0.99617415) × R
    0.000191749999999991 × 0.543517685549478 × 6371000     		du = 663.982537736367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99627836)-sin(0.99617415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543430208962434-0.543517685549478)×R²
    abs(-0.23949275--0.23968450)×8.74765870439997e-05×R²
    0.000191749999999991×8.74765870439997e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.74765870439997e-05×40589641000000     		ar = 440797.080107913m²