Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15133 / 8243
↖ ↑ ↗
← N 66.288955°
W 13.743897°		 ← 491.25 m → N 66.288955°
W 13.732910°		 →
↑
491.27 m
↓
↑
491.27 m
↓
N 66.284537°
W 13.743897°		 ← 491.34 m →
241 357 m²		 N 66.284537°
W 13.732910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461837768554688 y=0.251571655273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461837768554688 × 215)
    floor (0.461837768554688 × 32768)
    floor (15133.5)     		tx = 15133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251571655273438 × 215)
    floor (0.251571655273438 × 32768)
    floor (8243.5)     		ty = 8243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15133 / 8243 ti = "15/15133/8243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15133/8243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15133 ÷ 215
    15133 ÷ 32768     		x = 0.461822509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8243 ÷ 215
    8243 ÷ 32768     		y = 0.251556396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461822509765625 × 2 - 1) × π
    -0.07635498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23987625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251556396484375 × 2 - 1) × π
    0.49688720703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.56101719922751
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23987625} λ = -0.23987625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56101719922751))-π/2
    2×atan(4.76366437722977)-π/2
    2×1.36387842774048-π/2
    2.72775685548096-1.57079632675     		φ = 1.15696053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23987625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.743897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15696053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.288955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15133 KachelY 8243 -0.23987625 1.15696053 -13.743897 66.288955
    Oben rechts KachelX + 1 15134 KachelY 8243 -0.23968450 1.15696053 -13.732910 66.288955
    Unten links KachelX 15133 KachelY + 1 8244 -0.23987625 1.15688342 -13.743897 66.284537
    Unten rechts KachelX + 1 15134 KachelY + 1 8244 -0.23968450 1.15688342 -13.732910 66.284537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15696053-1.15688342) × R
    7.71100000001024e-05 × 6371000     		dl = 491.267810000652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15696053-1.15688342) × R
    7.71100000001024e-05 × 6371000     		dr = 491.267810000652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23987625--0.23968450) × cos(1.15696053) × R
    0.000191750000000018 × 0.402124276037372 × 6371000     		do = 491.250798985135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23987625--0.23968450) × cos(1.15688342) × R
    0.000191750000000018 × 0.40219487560849 × 6371000     		du = 491.337046192246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15696053)-sin(1.15688342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402124276037372-0.40219487560849)×R²
    abs(-0.23968450--0.23987625)×7.05995711181018e-05×R²
    0.000191750000000018×7.05995711181018e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.05995711181018e-05×40589641000000     		ar = 241356.889536821m²