Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15133 / 8241
↖ ↑ ↗
← N 66.297789°
W 13.743897°		 ← 491.08 m → N 66.297789°
W 13.732910°		 →
↑
491.08 m
↓
↑
491.08 m
↓
N 66.293373°
W 13.743897°		 ← 491.16 m →
241 178 m²		 N 66.293373°
W 13.732910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461837768554688 y=0.251510620117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461837768554688 × 215)
    floor (0.461837768554688 × 32768)
    floor (15133.5)     		tx = 15133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251510620117188 × 215)
    floor (0.251510620117188 × 32768)
    floor (8241.5)     		ty = 8241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15133 / 8241 ti = "15/15133/8241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15133/8241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15133 ÷ 215
    15133 ÷ 32768     		x = 0.461822509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8241 ÷ 215
    8241 ÷ 32768     		y = 0.251495361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461822509765625 × 2 - 1) × π
    -0.07635498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23987625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251495361328125 × 2 - 1) × π
    0.49700927734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.56140069442447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23987625} λ = -0.23987625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56140069442447))-π/2
    2×atan(4.7654915699758)-π/2
    2×1.36395552056932-π/2
    2.72791104113864-1.57079632675     		φ = 1.15711471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23987625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.743897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15711471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.297789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15133 KachelY 8241 -0.23987625 1.15711471 -13.743897 66.297789
    Oben rechts KachelX + 1 15134 KachelY 8241 -0.23968450 1.15711471 -13.732910 66.297789
    Unten links KachelX 15133 KachelY + 1 8242 -0.23987625 1.15703763 -13.743897 66.293373
    Unten rechts KachelX + 1 15134 KachelY + 1 8242 -0.23968450 1.15703763 -13.732910 66.293373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15711471-1.15703763) × R
    7.70800000000627e-05 × 6371000     		dl = 491.076680000399m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15711471-1.15703763) × R
    7.70800000000627e-05 × 6371000     		dr = 491.076680000399m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23987625--0.23968450) × cos(1.15711471) × R
    0.000191750000000018 × 0.401983106348405 × 6371000     		do = 491.078340552182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23987625--0.23968450) × cos(1.15703763) × R
    0.000191750000000018 × 0.402053683231404 × 6371000     		du = 491.164560042596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15711471)-sin(1.15703763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401983106348405-0.402053683231404)×R²
    abs(-0.23968450--0.23987625)×7.05768829988851e-05×R²
    0.000191750000000018×7.05768829988851e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.05768829988851e-05×40589641000000     		ar = 241178.291408463m²