Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15133 / 21373
↖ ↑ ↗
← S 47.967859°
W 13.743897°		 ← 817.95 m → S 47.967859°
W 13.732910°		 →
↑
817.91 m
↓
↑
817.91 m
↓
S 47.975214°
W 13.743897°		 ← 817.83 m →
668 957 m²		 S 47.975214°
W 13.732910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461837768554688 y=0.652267456054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461837768554688 × 215)
    floor (0.461837768554688 × 32768)
    floor (15133.5)     		tx = 15133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652267456054688 × 215)
    floor (0.652267456054688 × 32768)
    floor (21373.5)     		ty = 21373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15133 / 21373 ti = "15/15133/21373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15133/21373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15133 ÷ 215
    15133 ÷ 32768     		x = 0.461822509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21373 ÷ 215
    21373 ÷ 32768     		y = 0.652252197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461822509765625 × 2 - 1) × π
    -0.07635498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23987625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652252197265625 × 2 - 1) × π
    -0.30450439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.956628768817841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23987625} λ = -0.23987625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.956628768817841))-π/2
    2×atan(0.384185884685926)-π/2
    2×0.366799627985332-π/2
    0.733599255970664-1.57079632675     		φ = -0.83719707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23987625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.743897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83719707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.967859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15133 KachelY 21373 -0.23987625 -0.83719707 -13.743897 -47.967859
    Oben rechts KachelX + 1 15134 KachelY 21373 -0.23968450 -0.83719707 -13.732910 -47.967859
    Unten links KachelX 15133 KachelY + 1 21374 -0.23987625 -0.83732545 -13.743897 -47.975214
    Unten rechts KachelX + 1 15134 KachelY + 1 21374 -0.23968450 -0.83732545 -13.732910 -47.975214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83719707--0.83732545) × R
    0.000128380000000039 × 6371000     		dl = 817.908980000249m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83719707--0.83732545) × R
    0.000128380000000039 × 6371000     		dr = 817.908980000249m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23987625--0.23968450) × cos(-0.83719707) × R
    0.000191750000000018 × 0.669547383717316 × 6371000     		do = 817.945363683962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23987625--0.23968450) × cos(-0.83732545) × R
    0.000191750000000018 × 0.669452021471425 × 6371000     		du = 817.828865421414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83719707)-sin(-0.83732545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669547383717316-0.669452021471425)×R²
    abs(-0.23968450--0.23987625)×9.53622458902403e-05×R²
    0.000191750000000018×9.53622458902403e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.53622458902403e-05×40589641000000     		ar = 668957.216537986m²