Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15133 / 21319
↖ ↑ ↗
← S 47.569114°
W 13.743897°		 ← 824.24 m → S 47.569114°
W 13.732910°		 →
↑
824.15 m
↓
↑
824.15 m
↓
S 47.576526°
W 13.743897°		 ← 824.12 m →
679 252 m²		 S 47.576526°
W 13.732910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461837768554688 y=0.650619506835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461837768554688 × 215)
    floor (0.461837768554688 × 32768)
    floor (15133.5)     		tx = 15133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650619506835938 × 215)
    floor (0.650619506835938 × 32768)
    floor (21319.5)     		ty = 21319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15133 / 21319 ti = "15/15133/21319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15133/21319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15133 ÷ 215
    15133 ÷ 32768     		x = 0.461822509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21319 ÷ 215
    21319 ÷ 32768     		y = 0.650604248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461822509765625 × 2 - 1) × π
    -0.07635498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23987625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650604248046875 × 2 - 1) × π
    -0.30120849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.946274398499908
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23987625} λ = -0.23987625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.946274398499908))-π/2
    2×atan(0.388184553731217)-π/2
    2×0.370279334734334-π/2
    0.740558669468668-1.57079632675     		φ = -0.83023766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23987625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.743897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83023766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.569114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15133 KachelY 21319 -0.23987625 -0.83023766 -13.743897 -47.569114
    Oben rechts KachelX + 1 15134 KachelY 21319 -0.23968450 -0.83023766 -13.732910 -47.569114
    Unten links KachelX 15133 KachelY + 1 21320 -0.23987625 -0.83036702 -13.743897 -47.576526
    Unten rechts KachelX + 1 15134 KachelY + 1 21320 -0.23968450 -0.83036702 -13.732910 -47.576526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83023766--0.83036702) × R
    0.000129359999999967 × 6371000     		dl = 824.152559999791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83023766--0.83036702) × R
    0.000129359999999967 × 6371000     		dr = 824.152559999791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23987625--0.23968450) × cos(-0.83023766) × R
    0.000191750000000018 × 0.674700364244001 × 6371000     		do = 824.240446949847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23987625--0.23968450) × cos(-0.83036702) × R
    0.000191750000000018 × 0.674604879051399 × 6371000     		du = 824.12379849077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83023766)-sin(-0.83036702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674700364244001-0.674604879051399)×R²
    abs(-0.23968450--0.23987625)×9.54851926018296e-05×R²
    0.000191750000000018×9.54851926018296e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.54851926018296e-05×40589641000000     		ar = 679251.80729265m²