Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15132 / 8238
↖ ↑ ↗
← N 66.311035°
W 13.754883°		 ← 490.79 m → N 66.311035°
W 13.743897°		 →
↑
490.82 m
↓
↑
490.82 m
↓
N 66.306621°
W 13.754883°		 ← 490.88 m →
240 914 m²		 N 66.306621°
W 13.743897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461807250976562 y=0.251419067382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461807250976562 × 215)
    floor (0.461807250976562 × 32768)
    floor (15132.5)     		tx = 15132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251419067382812 × 215)
    floor (0.251419067382812 × 32768)
    floor (8238.5)     		ty = 8238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15132 / 8238 ti = "15/15132/8238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15132/8238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15132 ÷ 215
    15132 ÷ 32768     		x = 0.4617919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8238 ÷ 215
    8238 ÷ 32768     		y = 0.25140380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4617919921875 × 2 - 1) × π
    -0.076416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24006799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25140380859375 × 2 - 1) × π
    0.4971923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.56197593721991
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24006799} λ = -0.24006799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56197593721991))-π/2
    2×atan(4.76823367328013)-π/2
    2×1.36407110906603-π/2
    2.72814221813206-1.57079632675     		φ = 1.15734589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24006799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.754883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15734589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.311035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15132 KachelY 8238 -0.24006799 1.15734589 -13.754883 66.311035
    Oben rechts KachelX + 1 15133 KachelY 8238 -0.23987625 1.15734589 -13.743897 66.311035
    Unten links KachelX 15132 KachelY + 1 8239 -0.24006799 1.15726885 -13.754883 66.306621
    Unten rechts KachelX + 1 15133 KachelY + 1 8239 -0.23987625 1.15726885 -13.743897 66.306621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15734589-1.15726885) × R
    7.70400000000837e-05 × 6371000     		dl = 490.821840000533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15734589-1.15726885) × R
    7.70400000000837e-05 × 6371000     		dr = 490.821840000533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24006799--0.23987625) × cos(1.15734589) × R
    0.000191739999999996 × 0.401771416315609 × 6371000     		do = 490.794134842294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24006799--0.23987625) × cos(1.15726885) × R
    0.000191739999999996 × 0.401841963732069 × 6371000     		du = 490.880313840652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15734589)-sin(1.15726885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401771416315609-0.401841963732069)×R²
    abs(-0.23987625--0.24006799)×7.0547416460065e-05×R²
    0.000191739999999996×7.0547416460065e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.0547416460065e-05×40589641000000     		ar = 240913.629711382m²