Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15131 / 8595
↖ ↑ ↗
← N 64.685016°
W 13.765869°		 ← 522.37 m → N 64.685016°
W 13.754883°		 →
↑
522.42 m
↓
↑
522.42 m
↓
N 64.680318°
W 13.765869°		 ← 522.46 m →
272 919 m²		 N 64.680318°
W 13.754883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461776733398438 y=0.262313842773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461776733398438 × 215)
    floor (0.461776733398438 × 32768)
    floor (15131.5)     		tx = 15131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262313842773438 × 215)
    floor (0.262313842773438 × 32768)
    floor (8595.5)     		ty = 8595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15131 / 8595 ti = "15/15131/8595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15131/8595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15131 ÷ 215
    15131 ÷ 32768     		x = 0.461761474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8595 ÷ 215
    8595 ÷ 32768     		y = 0.262298583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461761474609375 × 2 - 1) × π
    -0.07647705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24025974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262298583984375 × 2 - 1) × π
    0.47540283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.49352204456247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24025974} λ = -0.24025974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49352204456247))-π/2
    2×atan(4.45275072012422)-π/2
    2×1.34988141662407-π/2
    2.69976283324814-1.57079632675     		φ = 1.12896651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24025974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.765869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12896651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.685016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15131 KachelY 8595 -0.24025974 1.12896651 -13.765869 64.685016
    Oben rechts KachelX + 1 15132 KachelY 8595 -0.24006799 1.12896651 -13.754883 64.685016
    Unten links KachelX 15131 KachelY + 1 8596 -0.24025974 1.12888451 -13.765869 64.680318
    Unten rechts KachelX + 1 15132 KachelY + 1 8596 -0.24006799 1.12888451 -13.754883 64.680318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12896651-1.12888451) × R
    8.19999999999155e-05 × 6371000     		dl = 522.421999999461m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12896651-1.12888451) × R
    8.19999999999155e-05 × 6371000     		dr = 522.421999999461m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24025974--0.24006799) × cos(1.12896651) × R
    0.000191749999999991 × 0.427594280859379 × 6371000     		do = 522.365956573315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24025974--0.24006799) × cos(1.12888451) × R
    0.000191749999999991 × 0.427668405023864 × 6371000     		du = 522.456509562024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12896651)-sin(1.12888451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427594280859379-0.427668405023864)×R²
    abs(-0.24006799--0.24025974)×7.41241644853785e-05×R²
    0.000191749999999991×7.41241644853785e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.41241644853785e-05×40589641000000     		ar = 272919.121354875m²