Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15131 / 21020
↖ ↑ ↗
← S 45.305803°
W 13.765869°		 ← 859.21 m → S 45.305803°
W 13.754883°		 →
↑
859.13 m
↓
↑
859.13 m
↓
S 45.313529°
W 13.765869°		 ← 859.09 m →
738 119 m²		 S 45.313529°
W 13.754883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461776733398438 y=0.641494750976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461776733398438 × 215)
    floor (0.461776733398438 × 32768)
    floor (15131.5)     		tx = 15131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641494750976562 × 215)
    floor (0.641494750976562 × 32768)
    floor (21020.5)     		ty = 21020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15131 / 21020 ti = "15/15131/21020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15131/21020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15131 ÷ 215
    15131 ÷ 32768     		x = 0.461761474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21020 ÷ 215
    21020 ÷ 32768     		y = 0.6414794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461761474609375 × 2 - 1) × π
    -0.07647705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24025974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6414794921875 × 2 - 1) × π
    -0.282958984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.888941866554321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24025974} λ = -0.24025974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.888941866554321))-π/2
    2×atan(0.411090511314716)-π/2
    2×0.390030450597003-π/2
    0.780060901194007-1.57079632675     		φ = -0.79073543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24025974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.765869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79073543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.305803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15131 KachelY 21020 -0.24025974 -0.79073543 -13.765869 -45.305803
    Oben rechts KachelX + 1 15132 KachelY 21020 -0.24006799 -0.79073543 -13.754883 -45.305803
    Unten links KachelX 15131 KachelY + 1 21021 -0.24025974 -0.79087028 -13.765869 -45.313529
    Unten rechts KachelX + 1 15132 KachelY + 1 21021 -0.24006799 -0.79087028 -13.754883 -45.313529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79073543--0.79087028) × R
    0.00013485000000002 × 6371000     		dl = 859.129350000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79073543--0.79087028) × R
    0.00013485000000002 × 6371000     		dr = 859.129350000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24025974--0.24006799) × cos(-0.79073543) × R
    0.000191749999999991 × 0.703322710252269 × 6371000     		do = 859.206628260507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24025974--0.24006799) × cos(-0.79087028) × R
    0.000191749999999991 × 0.703226842942626 × 6371000     		du = 859.089512992255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79073543)-sin(-0.79087028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703322710252269-0.703226842942626)×R²
    abs(-0.24006799--0.24025974)×9.58673096431717e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58673096431717e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58673096431717e-05×40589641000000     		ar = 738119.324589347m²