Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15130 / 10106
↖ ↑ ↗
← N 56.595791°
W 13.776856°		 ← 672.56 m → N 56.595791°
W 13.765869°		 →
↑
672.65 m
↓
↑
672.65 m
↓
N 56.589741°
W 13.776856°		 ← 672.67 m →
452 436 m²		 N 56.589741°
W 13.765869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461746215820312 y=0.308425903320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461746215820312 × 215)
    floor (0.461746215820312 × 32768)
    floor (15130.5)     		tx = 15130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308425903320312 × 215)
    floor (0.308425903320312 × 32768)
    floor (10106.5)     		ty = 10106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15130 / 10106 ti = "15/15130/10106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15130/10106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15130 ÷ 215
    15130 ÷ 32768     		x = 0.46173095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10106 ÷ 215
    10106 ÷ 32768     		y = 0.30841064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46173095703125 × 2 - 1) × π
    -0.0765380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24045149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30841064453125 × 2 - 1) × π
    0.3831787109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20379142325885
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24045149} λ = -0.24045149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20379142325885))-π/2
    2×atan(3.33272878460488)-π/2
    2×1.27928960714256-π/2
    2.55857921428511-1.57079632675     		φ = 0.98778289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24045149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.776856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98778289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.595791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15130 KachelY 10106 -0.24045149 0.98778289 -13.776856 56.595791
    Oben rechts KachelX + 1 15131 KachelY 10106 -0.24025974 0.98778289 -13.765869 56.595791
    Unten links KachelX 15130 KachelY + 1 10107 -0.24045149 0.98767731 -13.776856 56.589741
    Unten rechts KachelX + 1 15131 KachelY + 1 10107 -0.24025974 0.98767731 -13.765869 56.589741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98778289-0.98767731) × R
    0.000105579999999939 × 6371000     		dl = 672.650179999608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98778289-0.98767731) × R
    0.000105579999999939 × 6371000     		dr = 672.650179999608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24045149--0.24025974) × cos(0.98778289) × R
    0.000191749999999991 × 0.55054207205744 × 6371000     		do = 672.563804001664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24045149--0.24025974) × cos(0.98767731) × R
    0.000191749999999991 × 0.550630207956095 × 6371000     		du = 672.671474274795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98778289)-sin(0.98767731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55054207205744-0.550630207956095)×R²
    abs(-0.24025974--0.24045149)×8.8135898655306e-05×R²
    0.000191749999999991×8.8135898655306e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.8135898655306e-05×40589641000000     		ar = 452436.376457255m²