Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15129 / 20849
↖ ↑ ↗
← S 43.969098°
W 13.787842°		 ← 879.23 m → S 43.969098°
W 13.776856°		 →
↑
879.20 m
↓
↑
879.20 m
↓
S 43.977005°
W 13.787842°		 ← 879.11 m →
772 967 m²		 S 43.977005°
W 13.776856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461715698242188 y=0.636276245117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461715698242188 × 215)
    floor (0.461715698242188 × 32768)
    floor (15129.5)     		tx = 15129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636276245117188 × 215)
    floor (0.636276245117188 × 32768)
    floor (20849.5)     		ty = 20849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15129 / 20849 ti = "15/15129/20849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15129/20849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15129 ÷ 215
    15129 ÷ 32768     		x = 0.461700439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20849 ÷ 215
    20849 ÷ 32768     		y = 0.636260986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461700439453125 × 2 - 1) × π
    -0.07659912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24064324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636260986328125 × 2 - 1) × π
    -0.27252197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.856153027214203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24064324} λ = -0.24064324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.856153027214203))-π/2
    2×atan(0.424793110581586)-π/2
    2×0.401695397191054-π/2
    0.803390794382109-1.57079632675     		φ = -0.76740553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24064324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.787842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76740553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.969098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15129 KachelY 20849 -0.24064324 -0.76740553 -13.787842 -43.969098
    Oben rechts KachelX + 1 15130 KachelY 20849 -0.24045149 -0.76740553 -13.776856 -43.969098
    Unten links KachelX 15129 KachelY + 1 20850 -0.24064324 -0.76754353 -13.787842 -43.977005
    Unten rechts KachelX + 1 15130 KachelY + 1 20850 -0.24045149 -0.76754353 -13.776856 -43.977005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76740553--0.76754353) × R
    0.000137999999999971 × 6371000     		dl = 879.197999999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76740553--0.76754353) × R
    0.000137999999999971 × 6371000     		dr = 879.197999999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24064324--0.24045149) × cos(-0.76740553) × R
    0.000191750000000018 × 0.719714353351712 × 6371000     		do = 879.231302842904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24064324--0.24045149) × cos(-0.76754353) × R
    0.000191750000000018 × 0.719618537197484 × 6371000     		du = 879.114250068116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76740553)-sin(-0.76754353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719714353351712-0.719618537197484)×R²
    abs(-0.24045149--0.24064324)×9.58161542276015e-05×R²
    0.000191750000000018×9.58161542276015e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.58161542276015e-05×40589641000000     		ar = 772966.94794076m²