Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15127 / 11023
↖ ↑ ↗
← N 75.825005°
W 96.904907°		 ← 149.57 m → N 75.825005°
W 96.899414°		 →
↑
149.59 m
↓
↑
149.59 m
↓
N 75.823660°
W 96.904907°		 ← 149.59 m →
22 376 m²		 N 75.823660°
W 96.899414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230827331542969 y=0.168205261230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230827331542969 × 216)
    floor (0.230827331542969 × 65536)
    floor (15127.5)     		tx = 15127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.168205261230469 × 216)
    floor (0.168205261230469 × 65536)
    floor (11023.5)     		ty = 11023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15127 / 11023 ti = "16/15127/11023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15127/11023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15127 ÷ 216
    15127 ÷ 65536     		x = 0.230819702148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11023 ÷ 216
    11023 ÷ 65536     		y = 0.168197631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.230819702148438 × 2 - 1) × π
    -0.538360595703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.69130969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.168197631835938 × 2 - 1) × π
    0.663604736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.08477576447624
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69130969} λ = -1.69130969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08477576447624))-π/2
    2×atan(8.0427878007456)-π/2
    2×1.44709615757651-π/2
    2.89419231515302-1.57079632675     		φ = 1.32339599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69130969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.904907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32339599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.825005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15127 KachelY 11023 -1.69130969 1.32339599 -96.904907 75.825005
    Oben rechts KachelX + 1 15128 KachelY 11023 -1.69121382 1.32339599 -96.899414 75.825005
    Unten links KachelX 15127 KachelY + 1 11024 -1.69130969 1.32337251 -96.904907 75.823660
    Unten rechts KachelX + 1 15128 KachelY + 1 11024 -1.69121382 1.32337251 -96.899414 75.823660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32339599-1.32337251) × R
    2.34800000000757e-05 × 6371000     		dl = 149.591080000482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32339599-1.32337251) × R
    2.34800000000757e-05 × 6371000     		dr = 149.591080000482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69130969--1.69121382) × cos(1.32339599) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.244884280111716 × 6371000     		do = 149.572323357487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69130969--1.69121382) × cos(1.32337251) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.24490704513254 × 6371000     		du = 149.58622795379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32339599)-sin(1.32337251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244884280111716-0.24490704513254)×R²
    abs(-1.69121382--1.69130969)×2.27650208243224e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.27650208243224e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.27650208243224e-05×40589641000000     		ar = 22375.7253921988m²