Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15127 / 10258
↖ ↑ ↗
← N 55.665193°
W 13.809814°		 ← 689.04 m → N 55.665193°
W 13.798828°		 →
↑
689.09 m
↓
↑
689.09 m
↓
N 55.658996°
W 13.809814°		 ← 689.15 m →
474 845 m²		 N 55.658996°
W 13.798828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461654663085938 y=0.313064575195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461654663085938 × 215)
    floor (0.461654663085938 × 32768)
    floor (15127.5)     		tx = 15127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313064575195312 × 215)
    floor (0.313064575195312 × 32768)
    floor (10258.5)     		ty = 10258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15127 / 10258 ti = "15/15127/10258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15127/10258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15127 ÷ 215
    15127 ÷ 32768     		x = 0.461639404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10258 ÷ 215
    10258 ÷ 32768     		y = 0.31304931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461639404296875 × 2 - 1) × π
    -0.07672119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24102673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31304931640625 × 2 - 1) × π
    0.3739013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.17464578828986
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24102673} λ = -0.24102673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17464578828986))-π/2
    2×atan(3.23699615880247)-π/2
    2×1.27116861330154-π/2
    2.54233722660308-1.57079632675     		φ = 0.97154090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24102673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.809814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97154090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.665193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15127 KachelY 10258 -0.24102673 0.97154090 -13.809814 55.665193
    Oben rechts KachelX + 1 15128 KachelY 10258 -0.24083498 0.97154090 -13.798828 55.665193
    Unten links KachelX 15127 KachelY + 1 10259 -0.24102673 0.97143274 -13.809814 55.658996
    Unten rechts KachelX + 1 15128 KachelY + 1 10259 -0.24083498 0.97143274 -13.798828 55.658996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97154090-0.97143274) × R
    0.000108160000000024 × 6371000     		dl = 689.087360000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97154090-0.97143274) × R
    0.000108160000000024 × 6371000     		dr = 689.087360000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24102673--0.24083498) × cos(0.97154090) × R
    0.000191749999999991 × 0.564027794151883 × 6371000     		do = 689.038491426827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24102673--0.24083498) × cos(0.97143274) × R
    0.000191749999999991 × 0.564117104600279 × 6371000     		du = 689.147596576022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97154090)-sin(0.97143274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564027794151883-0.564117104600279)×R²
    abs(-0.24083498--0.24102673)×8.9310448395663e-05×R²
    0.000191749999999991×8.9310448395663e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.9310448395663e-05×40589641000000     		ar = 474845.306948944m²