Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15127 / 10033
↖ ↑ ↗
← N 57.034753°
W 13.809814°		 ← 664.73 m → N 57.034753°
W 13.798828°		 →
↑
664.81 m
↓
↑
664.81 m
↓
N 57.028774°
W 13.809814°		 ← 664.84 m →
441 958 m²		 N 57.028774°
W 13.798828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461654663085938 y=0.306198120117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461654663085938 × 215)
    floor (0.461654663085938 × 32768)
    floor (15127.5)     		tx = 15127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306198120117188 × 215)
    floor (0.306198120117188 × 32768)
    floor (10033.5)     		ty = 10033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15127 / 10033 ti = "15/15127/10033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15127/10033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15127 ÷ 215
    15127 ÷ 32768     		x = 0.461639404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10033 ÷ 215
    10033 ÷ 32768     		y = 0.306182861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461639404296875 × 2 - 1) × π
    -0.07672119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24102673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306182861328125 × 2 - 1) × π
    0.38763427734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.21778899794791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24102673} λ = -0.24102673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21778899794791))-π/2
    2×atan(3.37970692767763)-π/2
    2×1.2831202714602-π/2
    2.5662405429204-1.57079632675     		φ = 0.99544422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24102673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.809814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99544422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.034753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15127 KachelY 10033 -0.24102673 0.99544422 -13.809814 57.034753
    Oben rechts KachelX + 1 15128 KachelY 10033 -0.24083498 0.99544422 -13.798828 57.034753
    Unten links KachelX 15127 KachelY + 1 10034 -0.24102673 0.99533987 -13.809814 57.028774
    Unten rechts KachelX + 1 15128 KachelY + 1 10034 -0.24083498 0.99533987 -13.798828 57.028774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99544422-0.99533987) × R
    0.000104349999999975 × 6371000     		dl = 664.813849999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99544422-0.99533987) × R
    0.000104349999999975 × 6371000     		dr = 664.813849999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24102673--0.24083498) × cos(0.99544422) × R
    0.000191749999999991 × 0.544130242277345 × 6371000     		do = 664.730861077981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24102673--0.24083498) × cos(0.99533987) × R
    0.000191749999999991 × 0.544217789044254 × 6371000     		du = 664.837811644648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99544422)-sin(0.99533987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544130242277345-0.544217789044254)×R²
    abs(-0.24083498--0.24102673)×8.75467669096963e-05×R²
    0.000191749999999991×8.75467669096963e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.75467669096963e-05×40589641000000     		ar = 441957.834476929m²