Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15126 / 13998
↖ ↑ ↗
← N 25.344026°
W 13.820801°		 ← 1 104.06 m → N 25.344026°
W 13.809814°		 →
↑
1 104.09 m
↓
↑
1 104.09 m
↓
N 25.334097°
W 13.820801°		 ← 1 104.15 m →
1 219 038 m²		 N 25.334097°
W 13.809814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461624145507812 y=0.427200317382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461624145507812 × 215)
    floor (0.461624145507812 × 32768)
    floor (15126.5)     		tx = 15126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427200317382812 × 215)
    floor (0.427200317382812 × 32768)
    floor (13998.5)     		ty = 13998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15126 / 13998 ti = "15/15126/13998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15126/13998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15126 ÷ 215
    15126 ÷ 32768     		x = 0.46160888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13998 ÷ 215
    13998 ÷ 32768     		y = 0.42718505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46160888671875 × 2 - 1) × π
    -0.0767822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24121848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42718505859375 × 2 - 1) × π
    0.1456298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.457509769973816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24121848} λ = -0.24121848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.457509769973816))-π/2
    2×atan(1.58013418393477)-π/2
    2×1.00656651335131-π/2
    2.01313302670262-1.57079632675     		φ = 0.44233670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24121848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.820801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44233670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.344026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15126 KachelY 13998 -0.24121848 0.44233670 -13.820801 25.344026
    Oben rechts KachelX + 1 15127 KachelY 13998 -0.24102673 0.44233670 -13.809814 25.344026
    Unten links KachelX 15126 KachelY + 1 13999 -0.24121848 0.44216340 -13.820801 25.334097
    Unten rechts KachelX + 1 15127 KachelY + 1 13999 -0.24102673 0.44216340 -13.809814 25.334097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44233670-0.44216340) × R
    0.000173300000000043 × 6371000     		dl = 1104.09430000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44233670-0.44216340) × R
    0.000173300000000043 × 6371000     		dr = 1104.09430000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24121848--0.24102673) × cos(0.44233670) × R
    0.000191750000000018 × 0.903753901331274 × 6371000     		do = 1104.06123820702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24121848--0.24102673) × cos(0.44216340) × R
    0.000191750000000018 × 0.903828069246458 × 6371000     		du = 1104.1518446433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44233670)-sin(0.44216340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903753901331274-0.903828069246458)×R²
    abs(-0.24102673--0.24121848)×7.4167915184109e-05×R²
    0.000191750000000018×7.4167915184109e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.4167915184109e-05×40589641000000     		ar = 1219037.74203162m²