Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15126 / 10170
↖ ↑ ↗
← N 56.206704°
W 13.820801°		 ← 679.47 m → N 56.206704°
W 13.809814°		 →
↑
679.53 m
↓
↑
679.53 m
↓
N 56.200593°
W 13.820801°		 ← 679.58 m →
461 760 m²		 N 56.200593°
W 13.809814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461624145507812 y=0.310379028320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461624145507812 × 215)
    floor (0.461624145507812 × 32768)
    floor (15126.5)     		tx = 15126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310379028320312 × 215)
    floor (0.310379028320312 × 32768)
    floor (10170.5)     		ty = 10170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15126 / 10170 ti = "15/15126/10170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15126/10170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15126 ÷ 215
    15126 ÷ 32768     		x = 0.46160888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10170 ÷ 215
    10170 ÷ 32768     		y = 0.31036376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46160888671875 × 2 - 1) × π
    -0.0767822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24121848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31036376953125 × 2 - 1) × π
    0.3792724609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.19151957695612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24121848} λ = -0.24121848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19151957695612))-π/2
    2×atan(3.29207997728462)-π/2
    2×1.27589418646632-π/2
    2.55178837293264-1.57079632675     		φ = 0.98099205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24121848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.820801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98099205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.206704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15126 KachelY 10170 -0.24121848 0.98099205 -13.820801 56.206704
    Oben rechts KachelX + 1 15127 KachelY 10170 -0.24102673 0.98099205 -13.809814 56.206704
    Unten links KachelX 15126 KachelY + 1 10171 -0.24121848 0.98088539 -13.820801 56.200593
    Unten rechts KachelX + 1 15127 KachelY + 1 10171 -0.24102673 0.98088539 -13.809814 56.200593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98099205-0.98088539) × R
    0.000106660000000036 × 6371000     		dl = 679.53086000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98099205-0.98088539) × R
    0.000106660000000036 × 6371000     		dr = 679.53086000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24121848--0.24102673) × cos(0.98099205) × R
    0.000191750000000018 × 0.556198377884438 × 6371000     		do = 679.473769210026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24121848--0.24102673) × cos(0.98088539) × R
    0.000191750000000018 × 0.556287014466152 × 6371000     		du = 679.582051137233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98099205)-sin(0.98088539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556198377884438-0.556287014466152)×R²
    abs(-0.24102673--0.24121848)×8.86365817139856e-05×R²
    0.000191750000000018×8.86365817139856e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.86365817139856e-05×40589641000000     		ar = 461760.185632239m²