Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15125 / 21035
↖ ↑ ↗
← S 45.421588°
W 13.831787°		 ← 857.45 m → S 45.421588°
W 13.820801°		 →
↑
857.41 m
↓
↑
857.41 m
↓
S 45.429299°
W 13.831787°		 ← 857.33 m →
735 135 m²		 S 45.429299°
W 13.820801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461593627929688 y=0.641952514648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461593627929688 × 215)
    floor (0.461593627929688 × 32768)
    floor (15125.5)     		tx = 15125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641952514648438 × 215)
    floor (0.641952514648438 × 32768)
    floor (21035.5)     		ty = 21035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15125 / 21035 ti = "15/15125/21035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15125/21035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15125 ÷ 215
    15125 ÷ 32768     		x = 0.461578369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21035 ÷ 215
    21035 ÷ 32768     		y = 0.641937255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461578369140625 × 2 - 1) × π
    -0.07684326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24141023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641937255859375 × 2 - 1) × π
    -0.28387451171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.891818080531525
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24141023} λ = -0.24141023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.891818080531525))-π/2
    2×atan(0.409909825806204)-π/2
    2×0.389020031288305-π/2
    0.778040062576609-1.57079632675     		φ = -0.79275626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24141023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.831787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79275626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.421588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15125 KachelY 21035 -0.24141023 -0.79275626 -13.831787 -45.421588
    Oben rechts KachelX + 1 15126 KachelY 21035 -0.24121848 -0.79275626 -13.820801 -45.421588
    Unten links KachelX 15125 KachelY + 1 21036 -0.24141023 -0.79289084 -13.831787 -45.429299
    Unten rechts KachelX + 1 15126 KachelY + 1 21036 -0.24121848 -0.79289084 -13.820801 -45.429299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79275626--0.79289084) × R
    0.000134579999999995 × 6371000     		dl = 857.40917999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79275626--0.79289084) × R
    0.000134579999999995 × 6371000     		dr = 857.40917999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24141023--0.24121848) × cos(-0.79275626) × R
    0.000191749999999991 × 0.701884726276747 × 6371000     		do = 857.449930595138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24141023--0.24121848) × cos(-0.79289084) × R
    0.000191749999999991 × 0.701788859858306 × 6371000     		du = 857.332816415614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79275626)-sin(-0.79289084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701884726276747-0.701788859858306)×R²
    abs(-0.24121848--0.24141023)×9.58664184405045e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58664184405045e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58664184405045e-05×40589641000000     		ar = 735135.2356062m²