Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15125 / 20884
↖ ↑ ↗
← S 44.245199°
W 13.831787°		 ← 875.13 m → S 44.245199°
W 13.820801°		 →
↑
875.06 m
↓
↑
875.06 m
↓
S 44.253069°
W 13.831787°		 ← 875.02 m →
765 741 m²		 S 44.253069°
W 13.820801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461593627929688 y=0.637344360351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461593627929688 × 215)
    floor (0.461593627929688 × 32768)
    floor (15125.5)     		tx = 15125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637344360351562 × 215)
    floor (0.637344360351562 × 32768)
    floor (20884.5)     		ty = 20884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15125 / 20884 ti = "15/15125/20884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15125/20884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15125 ÷ 215
    15125 ÷ 32768     		x = 0.461578369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20884 ÷ 215
    20884 ÷ 32768     		y = 0.6373291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461578369140625 × 2 - 1) × π
    -0.07684326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24141023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6373291015625 × 2 - 1) × π
    -0.274658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.862864193161011
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24141023} λ = -0.24141023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.862864193161011))-π/2
    2×atan(0.421951798446359)-π/2
    2×0.3992859628984-π/2
    0.7985719257968-1.57079632675     		φ = -0.77222440
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24141023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.831787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77222440 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.245199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15125 KachelY 20884 -0.24141023 -0.77222440 -13.831787 -44.245199
    Oben rechts KachelX + 1 15126 KachelY 20884 -0.24121848 -0.77222440 -13.820801 -44.245199
    Unten links KachelX 15125 KachelY + 1 20885 -0.24141023 -0.77236175 -13.831787 -44.253069
    Unten rechts KachelX + 1 15126 KachelY + 1 20885 -0.24121848 -0.77236175 -13.820801 -44.253069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77222440--0.77236175) × R
    0.000137349999999925 × 6371000     		dl = 875.056849999522m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77222440--0.77236175) × R
    0.000137349999999925 × 6371000     		dr = 875.056849999522m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24141023--0.24121848) × cos(-0.77222440) × R
    0.000191749999999991 × 0.716360411568871 × 6371000     		do = 875.133995918643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24141023--0.24121848) × cos(-0.77236175) × R
    0.000191749999999991 × 0.716264571536767 × 6371000     		du = 875.016913973705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77222440)-sin(-0.77236175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716360411568871-0.716264571536767)×R²
    abs(-0.24121848--0.24141023)×9.58400321033892e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58400321033892e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58400321033892e-05×40589641000000     		ar = 765740.772320794m²