Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15125 / 13982
↖ ↑ ↗
← N 25.502785°
W 13.831787°		 ← 1 102.61 m → N 25.502785°
W 13.820801°		 →
↑
1 102.63 m
↓
↑
1 102.63 m
↓
N 25.492868°
W 13.831787°		 ← 1 102.70 m →
1 215 818 m²		 N 25.492868°
W 13.820801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461593627929688 y=0.426712036132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461593627929688 × 215)
    floor (0.461593627929688 × 32768)
    floor (15125.5)     		tx = 15125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426712036132812 × 215)
    floor (0.426712036132812 × 32768)
    floor (13982.5)     		ty = 13982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15125 / 13982 ti = "15/15125/13982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15125/13982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15125 ÷ 215
    15125 ÷ 32768     		x = 0.461578369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13982 ÷ 215
    13982 ÷ 32768     		y = 0.42669677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461578369140625 × 2 - 1) × π
    -0.07684326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24141023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42669677734375 × 2 - 1) × π
    0.1466064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.4605777315495
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24141023} λ = -0.24141023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.4605777315495))-π/2
    2×atan(1.58498941892442)-π/2
    2×1.00795194279277-π/2
    2.01590388558553-1.57079632675     		φ = 0.44510756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24141023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.831787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44510756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.502785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15125 KachelY 13982 -0.24141023 0.44510756 -13.831787 25.502785
    Oben rechts KachelX + 1 15126 KachelY 13982 -0.24121848 0.44510756 -13.820801 25.502785
    Unten links KachelX 15125 KachelY + 1 13983 -0.24141023 0.44493449 -13.831787 25.492868
    Unten rechts KachelX + 1 15126 KachelY + 1 13983 -0.24121848 0.44493449 -13.820801 25.492868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44510756-0.44493449) × R
    0.000173069999999997 × 6371000     		dl = 1102.62896999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44510756-0.44493449) × R
    0.000173069999999997 × 6371000     		dr = 1102.62896999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24141023--0.24121848) × cos(0.44510756) × R
    0.000191749999999991 × 0.902564360125396 × 6371000     		do = 1102.60804798026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24141023--0.24121848) × cos(0.44493449) × R
    0.000191749999999991 × 0.902638862755047 × 6371000     		du = 1102.69906331687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44510756)-sin(0.44493449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902564360125396-0.902638862755047)×R²
    abs(-0.24121848--0.24141023)×7.45026296510298e-05×R²
    0.000191749999999991×7.45026296510298e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.45026296510298e-05×40589641000000     		ar = 1215817.75736656m²