Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15125 / 10257
↖ ↑ ↗
← N 55.671389°
W 13.831787°		 ← 688.93 m → N 55.671389°
W 13.820801°		 →
↑
688.96 m
↓
↑
688.96 m
↓
N 55.665193°
W 13.831787°		 ← 689.04 m →
474 682 m²		 N 55.665193°
W 13.820801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461593627929688 y=0.313034057617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461593627929688 × 215)
    floor (0.461593627929688 × 32768)
    floor (15125.5)     		tx = 15125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313034057617188 × 215)
    floor (0.313034057617188 × 32768)
    floor (10257.5)     		ty = 10257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15125 / 10257 ti = "15/15125/10257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15125/10257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15125 ÷ 215
    15125 ÷ 32768     		x = 0.461578369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10257 ÷ 215
    10257 ÷ 32768     		y = 0.313018798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461578369140625 × 2 - 1) × π
    -0.07684326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24141023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313018798828125 × 2 - 1) × π
    0.37396240234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.17483753588834
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24141023} λ = -0.24141023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17483753588834))-π/2
    2×atan(3.23761690455356)-π/2
    2×1.27122268450811-π/2
    2.54244536901622-1.57079632675     		φ = 0.97164904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24141023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.831787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97164904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.671389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15125 KachelY 10257 -0.24141023 0.97164904 -13.831787 55.671389
    Oben rechts KachelX + 1 15126 KachelY 10257 -0.24121848 0.97164904 -13.820801 55.671389
    Unten links KachelX 15125 KachelY + 1 10258 -0.24141023 0.97154090 -13.831787 55.665193
    Unten rechts KachelX + 1 15126 KachelY + 1 10258 -0.24121848 0.97154090 -13.820801 55.665193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97164904-0.97154090) × R
    0.000108139999999923 × 6371000     		dl = 688.959939999511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97164904-0.97154090) × R
    0.000108139999999923 × 6371000     		dr = 688.959939999511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24141023--0.24121848) × cos(0.97164904) × R
    0.000191749999999991 × 0.563938493621496 × 6371000     		do = 688.929398393861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24141023--0.24121848) × cos(0.97154090) × R
    0.000191749999999991 × 0.564027794151883 × 6371000     		du = 689.038491426827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97164904)-sin(0.97154090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563938493621496-0.564027794151883)×R²
    abs(-0.24121848--0.24141023)×8.93005303869154e-05×R²
    0.000191749999999991×8.93005303869154e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.93005303869154e-05×40589641000000     		ar = 474682.337808553m²