Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15125 / 10002
↖ ↑ ↗
← N 57.219608°
W 13.831787°		 ← 661.42 m → N 57.219608°
W 13.820801°		 →
↑
661.44 m
↓
↑
661.44 m
↓
N 57.213660°
W 13.831787°		 ← 661.53 m →
437 523 m²		 N 57.213660°
W 13.820801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461593627929688 y=0.305252075195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461593627929688 × 215)
    floor (0.461593627929688 × 32768)
    floor (15125.5)     		tx = 15125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305252075195312 × 215)
    floor (0.305252075195312 × 32768)
    floor (10002.5)     		ty = 10002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15125 / 10002 ti = "15/15125/10002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15125/10002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15125 ÷ 215
    15125 ÷ 32768     		x = 0.461578369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10002 ÷ 215
    10002 ÷ 32768     		y = 0.30523681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461578369140625 × 2 - 1) × π
    -0.07684326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24141023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30523681640625 × 2 - 1) × π
    0.3895263671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.22373317350079
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24141023} λ = -0.24141023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22373317350079))-π/2
    2×atan(3.39985632542323)-π/2
    2×1.284733445574-π/2
    2.56946689114801-1.57079632675     		φ = 0.99867056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24141023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.831787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99867056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.219608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15125 KachelY 10002 -0.24141023 0.99867056 -13.831787 57.219608
    Oben rechts KachelX + 1 15126 KachelY 10002 -0.24121848 0.99867056 -13.820801 57.219608
    Unten links KachelX 15125 KachelY + 1 10003 -0.24141023 0.99856674 -13.831787 57.213660
    Unten rechts KachelX + 1 15126 KachelY + 1 10003 -0.24121848 0.99856674 -13.820801 57.213660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99867056-0.99856674) × R
    0.000103819999999977 × 6371000     		dl = 661.437219999852m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99867056-0.99856674) × R
    0.000103819999999977 × 6371000     		dr = 661.437219999852m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24141023--0.24121848) × cos(0.99867056) × R
    0.000191749999999991 × 0.541420513256682 × 6371000     		do = 661.420549749475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24141023--0.24121848) × cos(0.99856674) × R
    0.000191749999999991 × 0.541507797205258 × 6371000     		du = 661.527179246951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99867056)-sin(0.99856674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541420513256682-0.541507797205258)×R²
    abs(-0.24121848--0.24141023)×8.72839485767107e-05×R²
    0.000191749999999991×8.72839485767107e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.72839485767107e-05×40589641000000     		ar = 437523.434429506m²