Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15124 / 9995
↖ ↑ ↗
← N 57.261223°
W 13.842773°		 ← 660.64 m → N 57.261223°
W 13.831787°		 →
↑
660.74 m
↓
↑
660.74 m
↓
N 57.255281°
W 13.842773°		 ← 660.75 m →
436 544 m²		 N 57.255281°
W 13.831787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461563110351562 y=0.305038452148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461563110351562 × 215)
    floor (0.461563110351562 × 32768)
    floor (15124.5)     		tx = 15124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305038452148438 × 215)
    floor (0.305038452148438 × 32768)
    floor (9995.5)     		ty = 9995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15124 / 9995 ti = "15/15124/9995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15124/9995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15124 ÷ 215
    15124 ÷ 32768     		x = 0.4615478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9995 ÷ 215
    9995 ÷ 32768     		y = 0.305023193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4615478515625 × 2 - 1) × π
    -0.076904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24160197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305023193359375 × 2 - 1) × π
    0.38995361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.22507540669016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24160197} λ = -0.24160197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22507540669016))-π/2
    2×atan(3.40442278936644)-π/2
    2×1.28509659688677-π/2
    2.57019319377354-1.57079632675     		φ = 0.99939687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24160197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.842773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99939687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.261223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15124 KachelY 9995 -0.24160197 0.99939687 -13.842773 57.261223
    Oben rechts KachelX + 1 15125 KachelY 9995 -0.24141023 0.99939687 -13.831787 57.261223
    Unten links KachelX 15124 KachelY + 1 9996 -0.24160197 0.99929316 -13.842773 57.255281
    Unten rechts KachelX + 1 15125 KachelY + 1 9996 -0.24141023 0.99929316 -13.831787 57.255281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99939687-0.99929316) × R
    0.000103709999999979 × 6371000     		dl = 660.736409999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99939687-0.99929316) × R
    0.000103709999999979 × 6371000     		dr = 660.736409999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24160197--0.24141023) × cos(0.99939687) × R
    0.000191739999999996 × 0.540809723960691 × 6371000     		do = 660.639930584518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24160197--0.24141023) × cos(0.99929316) × R
    0.000191739999999996 × 0.540896956195847 × 6371000     		du = 660.746491349284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99939687)-sin(0.99929316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540809723960691-0.540896956195847)×R²
    abs(-0.24141023--0.24160197)×8.7232235156387e-05×R²
    0.000191739999999996×8.7232235156387e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.7232235156387e-05×40589641000000     		ar = 436544.06071711m²