Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15124 / 8628
↖ ↑ ↗
← N 64.529548°
W 13.842773°		 ← 525.33 m → N 64.529548°
W 13.831787°		 →
↑
525.42 m
↓
↑
525.42 m
↓
N 64.524823°
W 13.842773°		 ← 525.42 m →
276 043 m²		 N 64.524823°
W 13.831787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461563110351562 y=0.263320922851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461563110351562 × 215)
    floor (0.461563110351562 × 32768)
    floor (15124.5)     		tx = 15124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263320922851562 × 215)
    floor (0.263320922851562 × 32768)
    floor (8628.5)     		ty = 8628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15124 / 8628 ti = "15/15124/8628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15124/8628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15124 ÷ 215
    15124 ÷ 32768     		x = 0.4615478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8628 ÷ 215
    8628 ÷ 32768     		y = 0.2633056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4615478515625 × 2 - 1) × π
    -0.076904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24160197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2633056640625 × 2 - 1) × π
    0.473388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.48719437381262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24160197} λ = -0.24160197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48719437381262))-π/2
    2×atan(4.42466413468286)-π/2
    2×1.34852470384045-π/2
    2.69704940768091-1.57079632675     		φ = 1.12625308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24160197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.842773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12625308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.529548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15124 KachelY 8628 -0.24160197 1.12625308 -13.842773 64.529548
    Oben rechts KachelX + 1 15125 KachelY 8628 -0.24141023 1.12625308 -13.831787 64.529548
    Unten links KachelX 15124 KachelY + 1 8629 -0.24160197 1.12617061 -13.842773 64.524823
    Unten rechts KachelX + 1 15125 KachelY + 1 8629 -0.24141023 1.12617061 -13.831787 64.524823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12625308-1.12617061) × R
    8.24699999999456e-05 × 6371000     		dl = 525.416369999654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12625308-1.12617061) × R
    8.24699999999456e-05 × 6371000     		dr = 525.416369999654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24160197--0.24141023) × cos(1.12625308) × R
    0.000191739999999996 × 0.430045565099052 × 6371000     		do = 525.333143410468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24160197--0.24141023) × cos(1.12617061) × R
    0.000191739999999996 × 0.430120018145018 × 6371000     		du = 525.424093430299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12625308)-sin(1.12617061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430045565099052-0.430120018145018)×R²
    abs(-0.24141023--0.24160197)×7.44530459662607e-05×R²
    0.000191739999999996×7.44530459662607e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.44530459662607e-05×40589641000000     		ar = 276042.526722078m²