Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15124 / 14004
↖ ↑ ↗
← N 25.284438°
W 13.842773°		 ← 1 104.55 m → N 25.284438°
W 13.831787°		 →
↑
1 104.67 m
↓
↑
1 104.67 m
↓
N 25.274503°
W 13.842773°		 ← 1 104.64 m →
1 220 207 m²		 N 25.274503°
W 13.831787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461563110351562 y=0.427383422851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461563110351562 × 215)
    floor (0.461563110351562 × 32768)
    floor (15124.5)     		tx = 15124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427383422851562 × 215)
    floor (0.427383422851562 × 32768)
    floor (14004.5)     		ty = 14004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15124 / 14004 ti = "15/15124/14004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15124/14004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15124 ÷ 215
    15124 ÷ 32768     		x = 0.4615478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14004 ÷ 215
    14004 ÷ 32768     		y = 0.4273681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4615478515625 × 2 - 1) × π
    -0.076904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24160197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4273681640625 × 2 - 1) × π
    0.145263671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.456359284382935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24160197} λ = -0.24160197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.456359284382935))-π/2
    2×atan(1.57831730766988)-π/2
    2×1.00604650749175-π/2
    2.01209301498349-1.57079632675     		φ = 0.44129669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24160197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.842773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44129669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.284438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15124 KachelY 14004 -0.24160197 0.44129669 -13.842773 25.284438
    Oben rechts KachelX + 1 15125 KachelY 14004 -0.24141023 0.44129669 -13.831787 25.284438
    Unten links KachelX 15124 KachelY + 1 14005 -0.24160197 0.44112330 -13.842773 25.274503
    Unten rechts KachelX + 1 15125 KachelY + 1 14005 -0.24141023 0.44112330 -13.831787 25.274503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44129669-0.44112330) × R
    0.000173389999999995 × 6371000     		dl = 1104.66768999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44129669-0.44112330) × R
    0.000173389999999995 × 6371000     		dr = 1104.66768999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24160197--0.24141023) × cos(0.44129669) × R
    0.000191739999999996 × 0.904198591302925 × 6371000     		do = 1104.54688243809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24160197--0.24141023) × cos(0.44112330) × R
    0.000191739999999996 × 0.904272634710403 × 6371000     		du = 1104.63733205356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44129669)-sin(0.44112330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904198591302925-0.904272634710403)×R²
    abs(-0.24141023--0.24160197)×7.40434074781859e-05×R²
    0.000191739999999996×7.40434074781859e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.40434074781859e-05×40589641000000     		ar = 1220207.21456009m²