Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15124 / 11024
↖ ↑ ↗
← N 75.823660°
W 96.921387°		 ← 149.59 m → N 75.823660°
W 96.915894°		 →
↑
149.59 m
↓
↑
149.59 m
↓
N 75.822314°
W 96.921387°		 ← 149.60 m →
22 378 m²		 N 75.822314°
W 96.915894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230781555175781 y=0.168220520019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230781555175781 × 216)
    floor (0.230781555175781 × 65536)
    floor (15124.5)     		tx = 15124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.168220520019531 × 216)
    floor (0.168220520019531 × 65536)
    floor (11024.5)     		ty = 11024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15124 / 11024 ti = "16/15124/11024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15124/11024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15124 ÷ 216
    15124 ÷ 65536     		x = 0.23077392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11024 ÷ 216
    11024 ÷ 65536     		y = 0.168212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.23077392578125 × 2 - 1) × π
    -0.5384521484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.69159731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.168212890625 × 2 - 1) × π
    0.66357421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.084679890677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69159731} λ = -1.69159731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.084679890677))-π/2
    2×atan(8.04201674508527)-π/2
    2×1.44708441803767-π/2
    2.89416883607534-1.57079632675     		φ = 1.32337251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69159731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.921387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32337251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.823660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15124 KachelY 11024 -1.69159731 1.32337251 -96.921387 75.823660
    Oben rechts KachelX + 1 15125 KachelY 11024 -1.69150144 1.32337251 -96.915894 75.823660
    Unten links KachelX 15124 KachelY + 1 11025 -1.69159731 1.32334903 -96.921387 75.822314
    Unten rechts KachelX + 1 15125 KachelY + 1 11025 -1.69150144 1.32334903 -96.915894 75.822314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32337251-1.32334903) × R
    2.34800000000757e-05 × 6371000     		dl = 149.591080000482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32337251-1.32334903) × R
    2.34800000000757e-05 × 6371000     		dr = 149.591080000482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69159731--1.69150144) × cos(1.32337251) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.24490704513254 × 6371000     		do = 149.58622795379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69159731--1.69150144) × cos(1.32334903) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.244929810018344 × 6371000     		du = 149.600132467625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32337251)-sin(1.32334903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24490704513254-0.244929810018344)×R²
    abs(-1.69150144--1.69159731)×2.27648858044938e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.27648858044938e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.27648858044938e-05×40589641000000     		ar = 22377.8053891385m²