Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15124 / 10255
↖ ↑ ↗
← N 55.683779°
W 13.842773°		 ← 688.68 m → N 55.683779°
W 13.831787°		 →
↑
688.77 m
↓
↑
688.77 m
↓
N 55.677585°
W 13.842773°		 ← 688.78 m →
474 376 m²		 N 55.677585°
W 13.831787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461563110351562 y=0.312973022460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461563110351562 × 215)
    floor (0.461563110351562 × 32768)
    floor (15124.5)     		tx = 15124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312973022460938 × 215)
    floor (0.312973022460938 × 32768)
    floor (10255.5)     		ty = 10255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15124 / 10255 ti = "15/15124/10255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15124/10255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15124 ÷ 215
    15124 ÷ 32768     		x = 0.4615478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10255 ÷ 215
    10255 ÷ 32768     		y = 0.312957763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4615478515625 × 2 - 1) × π
    -0.076904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24160197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312957763671875 × 2 - 1) × π
    0.37408447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.1752210310853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24160197} λ = -0.24160197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1752210310853))-π/2
    2×atan(3.23885875319233)-π/2
    2×1.27133080123774-π/2
    2.54266160247549-1.57079632675     		φ = 0.97186528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24160197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.842773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97186528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.683779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15124 KachelY 10255 -0.24160197 0.97186528 -13.842773 55.683779
    Oben rechts KachelX + 1 15125 KachelY 10255 -0.24141023 0.97186528 -13.831787 55.683779
    Unten links KachelX 15124 KachelY + 1 10256 -0.24160197 0.97175717 -13.842773 55.677585
    Unten rechts KachelX + 1 15125 KachelY + 1 10256 -0.24141023 0.97175717 -13.831787 55.677585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97186528-0.97175717) × R
    0.000108110000000106 × 6371000     		dl = 688.768810000673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97186528-0.97175717) × R
    0.000108110000000106 × 6371000     		dr = 688.768810000673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24160197--0.24141023) × cos(0.97186528) × R
    0.000191739999999996 × 0.563759905814786 × 6371000     		do = 688.675311376032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24160197--0.24141023) × cos(0.97175717) × R
    0.000191739999999996 × 0.563849194755044 × 6371000     		du = 688.784384561443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97186528)-sin(0.97175717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563759905814786-0.563849194755044)×R²
    abs(-0.24141023--0.24160197)×8.92889402575037e-05×R²
    0.000191739999999996×8.92889402575037e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.92889402575037e-05×40589641000000     		ar = 474375.638259589m²